\documentclass{article}
\usepackage{amssymb,amsmath,amsfonts,latexsym}
\textwidth=15cm
\textheight=22cm
\voffset=-1cm
\hoffset=-2cm
\def\refname{Цитированная литература}
\def\real{{\mathbb R}}
\def\integer{{\mathbb Z}}
\def\nat{{\mathbb N}}
\def\labelenumi{\theenumi)}
\catcode`\@=11
\def\@seccntformat#1{\S\csname the#1\endcsname.\quad}
\def\slice{{\cal S}}
\def\book{{\mathbb B}}
\def\abstractname{Аннотация}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\def\доказательство{\addvspace{\medskipamount}\noindent
      {\sc Доказательство.} }
\def\доказано{\ifmmode\eqno\Box\medskip\else
        \nobreak\hfill\nopagebreak\discretionary{}
        {\hbox to\textwidth{\hfill$\Box$}}{\hbox{$\Box$}}\par
        \addvspace\medskipamount\fi}
\def\intP{{\stackrel\circ P}}
\author{И.\,А.\,Дынников\thanks{Работа выполнена при поддержке ...}}
\title{Конечно определенные группы и\\ полугруппы в теории узлов}
\date{Московский государственный университет\\
Воробьевы горы, Москва 119899\\
e-mail: dynnikov@mech.math.msu.su}
\begin{document}
\maketitle
\abstract{В работе построены конечно определенные
полугруппы, центральные элементы в каждой из которых находятся
во взаимно однозначном соответствии с изотопическими
классами зацеплений в $\real^3$. Решение проблемы
равенства слов в этих полугруппах равносильно решению
топологической задачи распознавания зацеплений и плетений.
Дана также конструкция конечно представленных групп,
в которые вкладывается группа кос.
%Обсуждается проблема нахождения линейных представлений
%этих полугрупп.
}
\section{Введение}
Зацеплением в $\real^3$ мы будем называть объединение
некоторого числа попарно не пересекающихся  простых
ломаных линий в $\real^3$. В настоящей работе мы будем
рассматривать только {\it неориентированные\/} зацепления.
Два зацепления считаются эквивалентными, если они
объемлемо изотопны в $\real^3$. Обозначим через $L_n$, $n=0,1,2,\dots$,
множество изотопических классов $n$-компонентных
зацеплений. Множество $L_0$ состоит всего из одного элемента ---
пустого зацепления, $L_1$ --- это множество изотопических
классов всех узлов в $\real^3$.

Пусть
$$L=L_0\cup L_1\cup L_2\cup\dots$$
--- множество изотопических классов всех зацеплений. На $L$ имеется
естественная структура абелевой полугруппы, умножение в которой
задается взятием объединения зацеплений, находящихся
по разные стороны от некоторой полуплоскости, а единичным
элементом является пустое зацепление из $L_0$.
Полугруппа $L$ не является конечно порожденной. Как абелева полугруппа
она свободно порождена изотопическими классами так называемых неразводимых
зацеплений.

В настоящей работе мы построим серию полугрупп $Y_n$, $n=3,4,\dots,\infty$,
обладающих следующими свойствами:
\begin{enumerate}
\item\label{pr1}
центр $Z(Y_n)$ полугруппы $Y_n$ изоморфен полугруппе $L$;
\item\label{pr2}
группа $D_n$ обратимых элементов полугруппы $Y_n$ содержит
подгруппу, изоморфную группе кос на бесконечном
числе нитей;
\item
при $n<\infty$ полугруппа $Y_n$ и группа $D_n$ являются конечно
определенными, т.~е.\ могут быть заданы конечным числом
образующих и определяющих соотношений.
\end{enumerate}

Построение полугруппы, обладающей лишь свойствами~\ref{pr1})~и
\ref{pr2}), не вызывает труда. Мы сделаем это в~\S\ref{standard_tangles},
слегка модифицировав стандартную конструкцию категории неориентированных
плетений (связок). Разложение элементов этой
полугруппы в произведение образующих
задается любой диаграммой общего положения соответствующего
плетения, а определяющие соотношения
соответствуют изотопиям диаграмм и движениям Райдемайстера.
Эти соотношения, точнее, их аналоги для категории ориентированных
плетений, использовались в~\cite{tur89} для построения инвариантов зацеплений.

Отличие построенной таким образом полугруппы $T$
от полугрупп $Y_n$, $n=3,4,\dots$, в том, что она
не может быть задана конечным числом определяющих соотношений.
Однако, полугруппа $T$ вкладывается в каждую из полугрупп $Y_n$,
которые уже являются конечно определенными.

Таким образом, мы сводим топологическую задачу распознавания зацеплений
и плетений к чисто алгебраической --- проблеме равенства слов
в некоторой конечно определенной полугруппе. Согласно работе
С.\,В.\,Матвеева~\cite{matv},
алгоритм для распознавания зацеплений существует.
Кроме того, ка С.\,В.\,Матевеев сообщил автору, усовершенствовав
этот алгоритм, можно получить алгоритм для распознавания плетений,
а значит, решить проблему равенства слов в полугруппах $Y_n$.
Тем не менее, было бы интересно получить чисто алгебраическое
доказательство разрешимости проблемы равенства слов в этих полугруппах,
получив тем самым альтернативный алгоритм распознавания зацеплений.

\section{Плетения}\label{standard_tangles}
Напомним конструкцию категории (неориентируемых) плетений~\cite{tur89}.
Плетение типа $(k,l)$ --- это произвольное одномерное компактное
PL-подмногообразие в $\real^3$, лежащее в области
\begin{equation}\label{slice}
\slice=\{(x,y,z)\in\real^3|\,0\le x\le1\}
\end{equation}
и имеющее своей границей множество точек $\{(0,i,0)\}_{1\le i\le k}\cup
\{(1,j,0)\}_{1\le j\le l}$.
Плетения называются эквивалентными, если они
объемлемо изотопны в $\slice$, причем все точки границы области
$\slice$ предполагаются неподвижными при изотопии.
Объектами категории плетений $\cal T$ являются неотрицательные
целые числа, а морфизмами из объекта $l$ в объект $k$ ---
изотопические классы плетений типа $(k,l)$.

Композиция $t_1\circ t_2$
произвольных плетений $t_1$ и $t_2$ типа $(k,l)$
и $(l,m)$ соответственно задается как объединение
$$\psi_1(t_1)\cup\psi_2(t_2),$$
где $\psi_{1,2}$ --- отображения из $\slice$ в себя, определенные
по формуле
$$\psi_1(x,y,z)=(x/2,y,z),\quad\psi_2(x,y,z)=((x+1)/2,y,z).$$
Это правило корректно задает композицию морфизмов в категории $\cal T$.
С точки зрения этой категории полугруппа $L$ --- это
полугруппа морфизмов из объекта $0$ в себя.

Немного модифицировав определения, мы можем получить вместо
категории плетений более простой объект ---
полугруппу. Для этого изменим определение плетения следующим
образом. Будем называть плетением любое PL-подмногообразие $t$
в $\slice$, границей $\partial t$ которого является множество
$$\{(0,i,0),(1,i,0)\}_{i>0},$$
причем $t\cap\partial\slice=\partial t$, и такое, что все
его компоненты, лежащие достаточно далеко от начала координат,
представляют собой прямолинейные отрезки вида $[(0,i,0),(0,j,0)]$
(мы будем обозначать отрезок, соединяющий точки $A$ и $B$ через
$[A,B]$). При этом разность
$j-i$ постоянна при больших $i$.
Такие объекты можно было бы назвать плетениями типа $(\infty,\infty)$.
Пример плетения в смысле данного
\begin{figure}\caption{Плетение типа $(\infty,\infty)$}\label{a tangle}
$$\begin{picture}(200,250)
\put(40,20){\circle*2}
\put(40,60){\circle*2}
\put(40,100){\circle*2}
\put(40,140){\circle*2}
\put(40,180){\circle*2}
\put(40,220){\circle*2}
\put(160,20){\circle*2}
\put(160,60){\circle*2}
\put(160,100){\circle*2}
\put(160,140){\circle*2}
\put(160,180){\circle*2}
\put(160,220){\circle*2}
\put(40,20){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,1,0)$ }}}
\put(40,60){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,2,0)$ }}}
\put(40,100){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,3,0)$ }}}
\put(40,140){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,4,0)$ }}}
\put(40,180){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,5,0)$ }}}
\put(40,220){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,6,0)$ }}}
\put(160,20){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,1,0)$}}}
\put(160,60){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,2,0)$}}}
\put(160,100){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,3,0)$}}}
\put(160,140){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,4,0)$}}}
\put(160,180){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,5,0)$}}}
\put(160,220){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,6,0)$}}}
\put(40,20){\line(3,2){86}}
\put(160,100){\line(-3,-2){26}}
\put(160,60){\line(-3,2){60}}
\put(160,140){\line(-3,-2){60}}
\put(40,60){\line(3,-1){35}}
\put(160,20){\line(-3,1){75}}
\put(40,100){\line(3,2){120}}
\put(40,140){\line(3,2){120}}
\put(40,180){\line(3,2){75}}
\put(40,220){\line(3,2){15}}
\put(100,235){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}}
\end{picture}$$
\end{figure}
определения показан на рисунке~\ref{a tangle}.

Заметим, что теперь композиция двех плетений, формально говоря, может
не являеться плетением, но является PL-подмногообразием, объемлемо
изотопным в $\slice$
некоторому плетению. Поэтому на множестве $T$ изотопических
классов таких плетений корректно определена операция композиции.
По отношению к этой операции множество $T$ является
полугруппой.

Имеется очевидный функтор $F$ из категории $\cal T$ в полугруппу
$T$. Он определяется следующим образом. Пусть $f$ ---
некоторый морфизм из объекта $l$ в объект $k$.
Морфизм $f$ можно представить плетением (в стандартном смысле),
целиком лежащим в области
$$y\le k+x(l-k).$$
Добавим к этому плетению отрезки $[(0,k+i,0),(1,l+i,0)]$,
$i>0$. Изотопический класс полученного
плетения (в новом смысле) и будем считать образом $F(f)$ морфизма $f$.

Доказательство следующего утверждения не составляет труда.

\begin{lemma}
Плетения $t_1$ и $t_2$ типа $(k,l)$ эквивалентны тогда
и только тогда, когда их образы $F(t_1)$ и $F(t_2)$
совпадают. Элемент полугруппы $T$ имеет вид $F(t)$, где
$t$ --- некоторое зацепление {\/\rm(}т.~е.\ плетение типа $(0,0)${\rm)},
тогда и только тогда, когда он центральный.
\end{lemma}

В полугруппе $T$ легко указать также набор образующих и определяющих
соотношений.

\begin{lemma}
Полугруппа $T$ порождается элементами $\alpha_i,\beta_i,\sigma_i,
\sigma_i^{-1}$, $i>0$, показанными на рис.~\ref{generators}.
\begin{figure}\caption{Образующие полугруппы $T$}\label{generators}
$$\begin{array}{ll}
\alpha_i:&\beta_i:\\
      \begin{picture}(180,200)
            \put(90,20){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}}
            \put(90,180){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}}
            \put(60,40){\circle*2}
            \put(60,80){\circle*2}
            \put(60,120){\circle*2}
            \put(60,160){\circle*2}
            \put(60,40){\line(1,0){60}}
            \put(60,40){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i-1,0)$ }}}
            \put(60,80){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i,0)$ }}}
            \put(60,120){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i+1,0)$ }}}
            \put(60,160){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i+2,0)$ }}}
            \put(120,40){\circle*2}
            \put(120,80){\circle*2}
            \put(120,120){\circle*2}
            \put(120,160){\circle*2}
            \put(120,40){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i-1,0)$}}}
            \put(120,80){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i,0)$}}}
            \put(120,120){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i+1,0)$}}}
            \put(120,160){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i+2,0)$}}}
            \put(120,80){\line(-1,1){20}}
            \put(120,120){\line(-1,-1){20}}
            \put(60,80){\line(3,4){60}}
            \put(60,120){\line(3,4){40}}
            \put(60,160){\line(3,4){10}}
            \end{picture}\hskip1em
&
      \begin{picture}(180,200)
            \put(90,20){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}}
            \put(90,180){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}}
            \put(60,40){\circle*2}
            \put(60,80){\circle*2}
            \put(60,120){\circle*2}
            \put(60,160){\circle*2}
            \put(60,40){\line(1,0){60}}
            \put(60,40){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i-1,0)$ }}}
            \put(60,80){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i,0)$ }}}
            \put(60,120){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i+1,0)$ }}}
            \put(60,160){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i+2,0)$ }}}
            \put(120,40){\circle*2}
            \put(120,80){\circle*2}
            \put(120,120){\circle*2}
            \put(120,160){\circle*2}
            \put(120,40){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i-1,0)$}}}
            \put(120,80){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i,0)$}}}
            \put(120,120){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i+1,0)$}}}
            \put(120,160){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i+2,0)$}}}
            \put(60,80){\line(1,1){20}}
            \put(60,120){\line(1,-1){20}}
            \put(120,80){\line(-3,4){60}}
            \put(120,120){\line(-3,4){40}}
            \put(120,160){\line(-3,4){10}}
      \end{picture}\medskip\\
\sigma_i:&\sigma_i^{-1}:\\
      \begin{picture}(180,200)
            \put(90,20){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}}
            \put(90,170){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}}
            \put(60,40){\circle*2}
            \put(60,80){\circle*2}
            \put(60,120){\circle*2}
            \put(60,160){\circle*2}
            \put(60,40){\line(1,0){60}}
            \put(60,40){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i-1,0)$ }}}
            \put(60,80){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i,0)$ }}}
            \put(60,120){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i+1,0)$ }}}
            \put(60,160){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i+2,0)$ }}}
            \put(120,40){\circle*2}
            \put(120,80){\circle*2}
            \put(120,120){\circle*2}
            \put(120,160){\circle*2}
            \put(120,40){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i-1,0)$}}}
            \put(120,80){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i,0)$}}}
            \put(120,120){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i+1,0)$}}}
            \put(120,160){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i+2,0)$}}}
            \put(60,160){\line(1,0){60}}
            \put(60,80){\line(1,0){10}}
            \put(60,120){\line(1,0){10}}
            \put(120,80){\line(-1,0){10}}
            \put(120,120){\line(-1,0){10}}
            \put(70,120){\line(1,-1){40}}
            \put(70,80){\line(1,1){15}}
            \put(110,120){\line(-1,-1){15}}
      \end{picture}&
      \begin{picture}(180,200)
            \put(90,20){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}}
            \put(90,170){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}}
            \put(60,40){\circle*2}
            \put(60,80){\circle*2}
            \put(60,120){\circle*2}
            \put(60,160){\circle*2}
            \put(60,40){\line(1,0){60}}
            \put(60,40){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i-1,0)$ }}}
            \put(60,80){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i,0)$ }}}
            \put(60,120){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i+1,0)$ }}}
            \put(60,160){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i+2,0)$ }}}
            \put(120,40){\circle*2}
            \put(120,80){\circle*2}
            \put(120,120){\circle*2}
            \put(120,160){\circle*2}
            \put(120,40){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i-1,0)$}}}
            \put(120,80){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i,0)$}}}
            \put(120,120){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i+1,0)$}}}
            \put(120,160){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i+2,0)$}}}
            \put(60,160){\line(1,0){60}}
            \put(60,80){\line(1,0){10}}
            \put(60,120){\line(1,0){10}}
            \put(120,80){\line(-1,0){10}}
            \put(120,120){\line(-1,0){10}}
            \put(70,80){\line(1,1){40}}
            \put(70,120){\line(1,-1){15}}
            \put(110,80){\line(-1,1){15}}
      \end{picture}
\end{array}$$
\end{figure}
В ней имеют место равенства:
\begin{align}
\label{iso1}
\alpha_i\beta_{i+1}&=1,\\
\label{iso3}
\alpha_{i+1}\beta_i&=1,\\
\label{iso4}
\alpha_i\alpha_{i+j+1}&=\alpha_{i+j-1}\alpha_i\\
\label{iso5}
\alpha_i\beta_{i+j+1}&=\beta_{i+j-1}\alpha_i,\\
\label{iso6}
\beta_i\beta_{i+j-1}&=\beta_{i+j+1}\beta_i\\
\label{iso7}
\beta_i\alpha_{i+j-1}&=\alpha_{i+j+1}\beta_{i},\\
\label{iso8}
\alpha_i\sigma_{i+j+1}&=\sigma_{i+j-1}\alpha_i,\\
\label{iso9}
\alpha_{i+j+1}\sigma_i&=\sigma_i\alpha_{i+j+1},\\
\label{iso12}
\beta_i\sigma_{i+j-1}&=\sigma_{i+j+1}\beta_i,\\
\label{iso13}
\beta_{i+j+1}\sigma_i&=\sigma_i\beta_{i+j+1},\\
\label{iso10}
\sigma_i\sigma_{i+j+1}&=\sigma_{i+j+1}\sigma_i,\\
\label{iso11}
\alpha_i\sigma_{i+1}^{\pm1}\beta_{i+2}&=\sigma_i^{\mp1},\\
\label{iso2}
\alpha_{i+2}\sigma_{i+1}^{\pm1}\beta_i&=\sigma_i^{\mp1},\\
\label{r1}
\alpha_i\sigma_{i+1}^{\pm1}\beta_i&=1,\\
\label{r2}
\alpha_{i+1}\sigma_i^{\pm1}\beta_{i+1}&=1,\\
\label{r3}
\sigma_{i}\sigma_i^{-1}=\sigma_i^{-1}\sigma_i&=1,\\
\label{r4}
\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i&=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1},
\end{align}
где $i,j>0$.
Они могут быть взяты за набор определяющих соотношений
полугруппы $T$.
\end{lemma}

Это утверждение не содержит ничего нового по сравнению с аналогичным
утверждением о порождающих
соотношениях для категории плетений (см.~\cite{tur89}).
Соотношения~(\ref{iso1})--(\ref{iso2}) отвечают изотопиям
диаграмм плетений, соотношения~(\ref{r1}), (\ref{r2}) --- движению
Райдемайстера типа~I, соотношения~(\ref{r3}) и (\ref{r4}) ---
движениям Райдемайстера типов II и III соответственно.

\vskip1em
\noindent{\bf Замечание.}
Понятие плетения можно было бы обобщить немного по-другому,
добавив к концевым точкам также точки $(0,i,0),(1,i,0)$,
для которых $i\le0$. Полученная в этом случае полугруппа плетений
уже является конечно порожденной ввиду соотношений
$$\begin{aligned}
\tau^i\alpha_1\tau^{-i}&=\alpha_{i+1},\\
\tau^i\beta_1\tau^{-i}&=\beta_{i+1},\\
\tau^i\sigma_1^{\pm1}\tau^{-i}&=\sigma_{i+1}^{\pm1},
\end{aligned}$$
где $\tau$ --- плетение, показанное на рис.~\ref{shift}.
\begin{figure}\caption{Плетение $\tau$}\label{shift}
\centerline{\begin{picture}(180,220)
\put(30,20){\circle*2}
\put(30,60){\circle*2}
\put(30,100){\circle*2}
\put(30,140){\circle*2}
\put(30,180){\circle*2}
\put(150,20){\circle*2}
\put(150,60){\circle*2}
\put(150,100){\circle*2}
\put(150,140){\circle*2}
\put(150,180){\circle*2}
\put(30,20){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,-2,0)$ }}}
\put(30,60){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,-1,0)$ }}}
\put(30,100){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,0,0)$ }}}
\put(30,140){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,1,0)$ }}}
\put(30,180){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,2,0)$ }}}
\put(150,20){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{ $(1,-2,0)$\hss}}}
\put(150,60){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{ $(1,-1,0)$\hss}}}
\put(150,100){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{ $(1,0,0)$\hss}}}
\put(150,140){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{ $(1,1,0)$\hss}}}
\put(150,180){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{ $(1,2,0)$\hss}}}
\put(30,20){\line(3,-1){70}}
\put(30,60){\line(3,-1){120}}
\put(30,100){\line(3,-1){120}}
\put(30,140){\line(3,-1){120}}
\put(30,180){\line(3,-1){120}}
\put(150,180){\line(-3,1){70}}
\end{picture}}
\end{figure}
Однако, для нее не существует конечного набора определяющих соотношений.

\section{Плетения, вложенные в книгу}\label{yinfty}
Здесь мы определим полугруппу $Y_\infty$, в которую
полугруппа $T$ может быть вложена. Сама полугруппа $Y_\infty$
также не является конечно порожденной, но она нужна
нам для дальнейших построений конечно определенных полугрупп,
которые будут подполугруппами в $Y_\infty$.

Обозначим через $P_k$ ($k\in\integer$) полуплоскость
\begin{equation}
\{(x,y,z)\in\real^3|\;y\ge0,z=ky\}
\end{equation}
и рассмотрим часть объединения этих плоскостей, лежащую в
области~(\ref{slice}):
\begin{equation}
\book=\slice\cap\Bigl(\bigcup\limits_{k\in\integer}P_k\Bigr).
\end{equation}
Множество $\book$ естественно назвать книгой, а прямую $y=z=0$ ---
линией переплета. Обозначим через
$E^0_{k,l}$ и $E^1_{k,l}$, где $k,l\in\integer$, $l>0$
следующие точки, лежащие на границе книги $\book$:
\begin{equation}
E^0_{k,l}=(0,l,kl),\quad E^1_{k,l}=(1,l,kl).
\end{equation}

Плетением в книге $\book$ назовем любое PL-подмногообразие $t$ в $\slice$,
удовлетворяющее следующим условиям:
\begin{enumerate}
\item
$\partial t=t\cap\partial\slice=
\{E^0_{k,l},E^1_{k,l}\}_{k,l\in\integer\,,l>0}$;
\item\label{cond1}
$t$ целиком содержится в $\book$;
\item
$t$ трансверсально линии переплета, т.~е.\ имеет с ней лишь
конечное число точек пересечения, которые не могут быть устранены
малым шевелением плетения $t$ без нарушения условия~\ref{cond1};
\item
ограничение координаты $x$ на каждую связную компоненту
пересечения $t\cap P_i$ является монотонной функцией для всех $i\in\integer$.
\end{enumerate}
Такие плетения мы называем эквивалентными, если они объемлемо
изотопны в $\slice$ (но не обязательно в $\book$!).

Композиция плетений в книге $\book$ определяется точно так же,
как и в случае обычных плетений. По отношению к композиции
изотопические классы плетений в $\book$ образуют полугруппу
с единицей
$$I=\bigcup\limits_{k,l\in\integer,l>0}[E^0_{k,l},E^1_{k,l}].$$
Эту полугруппу мы и обозначим через $Y_\infty$.
Плетения в книге $\book$ мы в дальнейшем называем просто плетениями.

Для каждого $n\ge3$
подполугруппу в $Y_\infty$, состоящую из изотопических
классов плетений $t$ таких, что
$t\cap\intP_k=I\cap\intP_k$ при $k<0$ или $k>n-1$ обозначим через
$Y_n$. Здесь через $\intP_k$ мы обозначаем полуплоскость $P_k$
без границы: $\intP_k=\{(x,y,z)\in\real^3|\;y>0,z=ky\}$.

Заметим, что каждое плетение $t$ изотопно некоторому
плетению $t'$, для которого найдутся $N_1,N_2\in\integer$ такие,
что $t'\cap\intP_k=I\cap\intP_k$ при $k<N_1$ или $k>N_2$. Кроме того,
плетение $t'$ можно выбрать таким, чтобы для достаточно большого
$N_3$ и некоторых целых $n_k$, $k\in\integer$,
отрезки $[E^0_{k,n},E^1_{k,n+n_k}]$ целиком содержались
в $t'$ при $n>N_3$. Легко видеть, что определенное
таким образом отображение $\varphi:Y_\infty\rightarrow\integer^\integer$
\begin{equation}
\varphi(t)=(\dots,n_{-2},n_{-1},n_0,n_1,n_2,\dots)
\end{equation}
является гомоморфизмом полугрупп.

За меру сложности $m(t)$ произвольного плетения $t$ в книге $\book$
естественно взять число точек пересечения плетения $t$
с линией переплета. Рассмотрим простейшие нетождественные
плетения, т.~е.\ плетения, имеющие сложность $1$. Если $m(t)=1$,
то, как легко видеть, ровно для двух
значений $i\in\integer$ пересечение $t\cap\intP_i$
не изотопно пересечению $I\cap\intP_i$. Для этих двух исключительных
значений $i$ мы имеем $\varphi(t)_i=\pm1$. При этом если
$\varphi(t)_i=1$, то в полуплоскости $P_i$ плетение
$t$ имеет следующие компоненты (с точностью до изотопии):
$$t\cap P_i=\Bigl(\bigcup\limits_{l>0}[E^0_{i,l},E^1_{i,l+1}]\Bigr)
\cup[A,E^1_{i,1}],$$
где $A$ --- единственная точка пересечения плетения $t$
с линией переплета. В случае $\varphi(t)_i=-1$, $m(t)=1$,
мы имеем (с точносью до изотопии в $P_i$):
$$t\cap P_i=\Bigl(\bigcup\limits_{l>0}[E^0_{i,l+1},E^1_{i,l}]\Bigr)
\cup[E^0_{i,1},A].$$

Обозначим через $a_i,b_i,c_i,d_i$ элементы группы $Y_\infty$,
представленные плетениями сложности $1$ и такие, что
\begin{equation}
\begin{aligned}
\varphi(a_i)_j&=\phantom-\delta_{i-1,j}+\delta_{i,j},\\
\varphi(b_i)_j&=\phantom-\delta_{i-1,j}-\delta_{i,j},\\
\varphi(c_i)_j&=-\delta_{i-1,j}-\delta_{i,j},\\
\varphi(d_i)_j&=-\delta_{i-1,j}+\delta_{i,j}.
\end{aligned}
\end{equation}
Здесь $\delta_{i,j}$ --- символ Кронекера.

Нарисовав соответствующие картинки, нетрудно убедиться, что в
полугруппе $Y_\infty$ выполнены следующие соотношения:
\begin{align}
\label{rel1}
a_id_{i+1}&=a_{i+1}b_i,\\
\label{rel2}
d_ic_{i+1}&=b_{i+1}c_i,\\
\label{rel4}
a_id_i&=a_{i+1}b_{i+1},\\
\label{rel5}
b_ic_i&=d_{i+1}c_{i+1},\\
\label{rel8}
a_ib_ic_id_i&=1,\\
\label{rel3}
b_id_i=d_ib_i&=1,\\
\label{rel6}
x_iy_j&=y_jx_i,\\
\label{rel7}
x_id_{i-1}d_id_{i+1}&=d_{i-1}d_id_{i+1}x_i
\end{align}
для всех $i,j\in\integer$ таких, что $|i-j|>1$ и $x_i\in\{a_i,b_i,c_i,d_i\}$,
$y_j\in\{a_j,b_j,c_j,d_j\}$.

\begin{theorem}\label{y.infty}
Элементы $\{a_i,b_i,c_i,d_i\}_{i\in\integer}$ порождают
полугруппу $Y_\infty$. Соотношения {\rm(\ref{rel1})--(\ref{rel7})\/}
могут быть взяты за набор определяющих соотношений полугруппы $Y_\infty$.
\end{theorem}

\доказательство
Докажем сначала простую часть теоремы, а именно, что полугруппа
$Y_\infty$ порождается указанными элементами. Действительно,
произвольное плетение можно разрезать плоскостями
вида $x={\rm const}$ на плетения сложности $1$. Поэтому достаточно
показать, что любое плетение сложности $1$ представляется
с точностью до изотопии как композиция наших образующих.
Пусть плетение $t$ сложности $m(t)=1$, таково, что
$$\varphi(t)_i=\varphi(t)_j=1,$$
где $j>i$. Тогда оно изотопно плетению
$$a_{i+1}d_{i+2}d_{i+3}\cdots d_j.$$
Если $m(t)=1$ и
$$\varphi(t)_i=-\varphi(t)_j=1,$$
$j>i$, то $t$ эквивалентно плетению
$$b_jb_{j-1}\cdots b_{i+1}.$$
Остальные два случая рассматриваются аналогично.

Оставшаяся часть этого параграфа посвящена доказательству достаточности
соотношений~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}) для реализации любой
изотопии между плетениями в книге $\book$. Схема доказательства
выглядит следующим образом. Согласно соотношению~(\ref{rel3})
элементы $b_i$ и $d_i$ являются взаимно обратными. Поэтому
эквивалентностьь двух слов $w_1$ и $w_2$
в алфавите $A=\{a_i,b_i,c_i,d_i\}_{i\in\integer}$
по модулю соотношений~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}) равносильна
эквивалентности слов $b_iw_1$ и $b_iw_2$, а также $d_iw_1$ и $d_iw_2$,
$w_1b_i$ и $w_2b_i$, $w_1d_i$ и $w_2d_i$. Мы покажем, что
для любого слова $w$ можно найти такие слова $u$ и $v$,
содержащие лишь буквы вида $b_i$ и $d_i$, $i\in\integer$,
что слово $uwv$ эквивалентно по модулю соотношений~(\ref{rel1})--(\ref{rel7})
некоторому слову, задающему элемент из специальной
подполугруппы в $Y_\infty$, которая изоморфна $T$. Мы докажем, что
определяющие соотношения~(\ref{iso1})--(\ref{r4}) полугруппы
$T$ вытекают из~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}).

Для $i\in\integer$ слово $w=x_1x_2\dots x_n$, где
$x_1,\dots,x_n\in A$ назовем $i$-{\it сбалансированным}, если
$$\varphi(w)_i=0$$
и для всех $k=1,\dots,n$ выполнено неравенство
$$\varphi(x_1\dots x_k)_i\ge0.$$

На геометрическом языке $i$-сбалансированность слова $w$,
соответствующего плетению $t\subset\book$ означает,
что каждая компонента пересечения $t\cap\intP_i$ либо соединяет
точки вида $E_{i,m}^0$ и $E_{i,m}^1$, либо
соединяет две вершины плетения $t$, лежащие на линии переплета.
Для любого $\varepsilon>0$ любое $i$-сбалансированное
плетение объемлемео изотопно в $\book$ такому плетению
$t'$, что в полуплоскости
$P_i\cap\{y\ge\varepsilon\}$ плетение $t'$ не отличается от тождественного.

Удобна также следующая интерпретация $i$-сбалансированности.
Для данных слова $w$ в алфавите $A$ и целого $i$ заменим
каждую букву $x$ на открывающую скобку, если $\varphi(x)_i=1$,
на закрывающую скобку, если $\varphi(x)_i=-1$, и на пробел,
если $\varphi(x)_i=0$. Слово $w$
является $i$-сбалансированным тогда и только тогда,
когда полученная последовательность скобок сбалансирована.

Пусть $\widetilde T$ --- подполугруппа полугруппы $Y_\infty$,
состоящая из всех изотопических классов плетений, являющихся
$i$-сбалансированными для всех $i\ne 0$.

\begin{lemma}
Полугруппа $\widetilde T$ изоморфна полугруппе $T$, введенной
в {\rm\S\ref{standard_tangles}}.
\end{lemma}
\доказательство
Легко видеть, что если плетение $t$ является $i$-сбалансированным
для всех $i\ne0$, то объемлемой изотопией в $\book$ его
можно привести к виду такому, что
$$t\cap\{|z|\ge1/2\}=I\cap\{|z|\ge1/2\}.$$
Отбрасывание ``тривиальной'' части плетения $t$, лежащей в области
$|z|\ge1/2$, мы получаем плетение с границей $\{E^0_{0,k},E^1_{0,k}\}_{k>0}$,
которое задает некоторый элемент из $T$. Таким образом, мы
получаем отображение $\xi:\widetilde T\rightarrow T$. Очевидно, что
это отображение инъективно. Построим обратное отображение, для
чего укажем образы элементов $\alpha_i,\beta_i,\sigma_i^{\pm1}$,
$i>0$, порождающих полугруппу $T$, при отображении $\xi^{-1}$:
\begin{align}
\label{image1}
\alpha_i&\mapsto d_1^{i-1}a_1b_1^i\\
\label{image2}
\beta_i&\mapsto d_1^ic_1b_1^{i-1}\\
\label{image3}
\sigma_i&\mapsto d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i\\
\label{image4}
\sigma_i^{-1}&\mapsto d_1^ib_0b_1d_0b_1^{i-1}.
\end{align}
Тот факт, что плетения, стоящие в правых частях этих формул,
переходят при отображении $\xi$ в
образующие $\alpha_i,\beta_i,\sigma_i^{\pm1}$,
показанные на рисунке~\ref{generators}, проверяется непосредственно.
Далее мы отождествляем полугруппы $\widetilde T$ и $T$, считая
$T$ подполугруппой в $Y_\infty$.

\begin{lemma}\label{razlozh}
Если слово $w$ в алфавите $A$ является $i$-сбалансированным
для всех $i\ne0$, то по модулю соотношений~{\rm(\ref{rel1})--(\ref{rel7})\/}
оно эквивалентно некоторому слову вида
\begin{equation}\label{product}
x_1\dots x_m,
\end{equation}
где $x_1,\dots,x_m\in\{d_1^{i-1}a_1b_1^i,d_1^ic_1b_1^{i-1},
d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i,d_1^ib_0b_1d_0b_1^{i-1}\}_{i>0}$.
\end{lemma}

\доказательство
Для начала мы покажем, что
применением соотношений~(\ref{rel1})--(\ref{rel7})
к слову $w$ можно избавиться в нем от всех вхождений букв
$a_i,b_i,c_i,d_i$ при $i\ne 0,1$.
Обозначим через $A_i$ множество $\{a_i,b_i,c_i,d_i\}$.
Пусть $N$ --- максимальное $i$ такое, что слово $w$ содержит
буквы из $A_i$, и пусть $N>1$. Соотношения~(\ref{rel4}), (\ref{rel5})
и (\ref{rel3}) влекут:
$$\begin{aligned}
a_N&=a_Nb_Nd_N=a_{N-1}d_{N-1}d_N\\
c_N&=b_Nd_Nc_N=b_Nb_{N-1}c_{N-1}.
\end{aligned}$$
Таким образом, применение этих соотношений позволяет избавиться в слове
$w$ от букв $a_N,c_N$. При этом слово $w$ будет оставаться
$i$-сбалансированным при $i\ne0$. Действительно, на ``скобочном''
языке упомянутые замены выглядят следующим образом:
$$\begin{aligned}
i&=N-2:\qquad&&{\lefteqn\varnothing\phantom(}\quad\rightarrow\quad
{\lefteqn\varnothing
\phantom(\ \phantom(\ \phantom(}\quad\rightarrow\quad
(\ )\\
i&=N-1:\qquad&&{(}\quad\rightarrow\quad
{(\ (\ )}\quad\rightarrow\quad(\ (\ )\quad,\\
i&=N:\qquad&&
{(}\quad\rightarrow\quad{(\ )\ (}\quad\rightarrow\quad
\phantom(\ \phantom(\ (
\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}
i&=N-2:\qquad&&{\lefteqn\varnothing\phantom(}\quad\rightarrow\quad
{\lefteqn\varnothing
\phantom(\ \phantom(\ \phantom(}\quad\rightarrow\quad
\phantom(\ (\ )\\
i&=N-1:\qquad&&{)}\quad\rightarrow\quad
{(\ )\ )}\quad\rightarrow\quad(\ )\ )\quad.\\
i&=N:\qquad&&
{)}\quad\rightarrow\quad{)\ (\ )}\quad\rightarrow\quad{)}
\end{aligned}$$
Теперь избавимся от вхождений букв $b_N,d_N$. В силу $N$-сбалансированности
слова $w$ последняя буква в нем не может быть $d_N$ и количество
вхождений $b_N$ и $d_N$ совпадает. Найдем последнее вхождение буквы
$d_N$ в $w$. Пусть $x$ --- следующая за $d_N$ буква. Возможны
следующие три случая.

1) $x=b_N$. В этом случае мы удаляем подслово $d_Nb_N$.

2) $x\in A_{N-1}$. Произведем следующие замены:
$$d_Nx\mapsto b_{N-1}b_{N-2}d_{N-2}d_{N-1}d_Nx\mapsto
b_{N-1}b_{N-2}xd_{N-2}d_{N-1}d_N.$$

3) $x\in A_i$, где $i\le N-2$. Поменяем местами $d_N$ и $x$.
\\
Во всех трех случаях $i$-сбалансированность слова $w$ при $i\ne0$
сохраняется. В случае~1) количество вхождений буквы $d_N$ (а также
буквы $b_N$) уменьшается на~$1$. В случаях~2) и 3) количество
вхождений буквы $d_N$ в $w$ сохраняется, но уменьшается
число букв, следующих за последней буквой $d_N$. Поэтому
за конечное число таких преоразований мы получим слово,
которое не содержит букв $b_N,d_N$.

Итак, применяя указанную выше процедуру, мы можем добиться
того, чтобы слово $w$ содержало лишь буквы из $A_i$, где $i\le1$.
Аналогичным образом, с помощью преобразований
$$\begin{aligned}
a_N&\mapsto a_Nd_Nb_N\mapsto a_{N+1}b_{N+1}b_N,\\
c_N&\mapsto c_Nb_Nd_N\mapsto c_{N+1}d_{N+1}d_N,\\
b_Nd_N&\mapsto\varnothing,\\
xd_N&\mapsto xd_Nd_{N+1}d_{N+2}b_{N+2}b_{N+1}\mapsto
d_Nd_{N+1}d_{N+2}xb_{N+2}b_{N+1},\quad x\in A_{N+1},\\
xd_N&\mapsto d_Nx,\quad x\in A_i,\quad i\ge N+2,
\end{aligned}$$
где $N<0$, можно добиться того, чтобы слово $w$ не содержало
букв из $A_i$ при $i<0$. При этих преобразованиях в слове $w$
будут добавлены лишь буквы $b_0,d_0,b_1,d_1$.
С помощью замен
$$\begin{aligned}
a_0&\mapsto a_0d_0b_0\mapsto a_1b_1b_0,\\
c_0&\mapsto c_0b_0d_0\mapsto c_1d_1d_0
\end{aligned}$$
мы получим слово, которое содержит лишь буквы $b_0,d_0,a_1,b_1,c_1,d_1$
и по-прежнему является $i$-сбалансированным для всех $i\ne0$.

Таким образом, осталось доказать лемму в случае, когда слово $w$
содержит только буквы $b_0,d_0,a_1,b_1,c_1,d_1$ и является
$(-1)$-сбаласированным и $1$-сбалансированным. По определению,
$(-1)$-сбалансированность означает, что если заменить в слове $w$
все $b_0$ на открывающую скобку, а все $d_0$ --- на закрывающую,
то получится выражение со сбалансированными скобками. Назовем
{\it глубиной\/} слова $w$ максимальное значение $\varphi(u)_{-1}$,
взятое по всевозможным разложениям $w$ в произведение $w=uv$
двух подслов. Иначе говоря, глубина --- это максимальный уровень
вложенности скобок в выражении, которое получается заменой
всех $b_0$ на левую скобку, а всех $d_0$ --- на правую.

Очередная наша цель --- применением соотношений
(\ref{rel1})--(\ref{rel7}) добиться того, чтобы наше слово
имело глубину $1$ или $0$. Предположим, что
глубина слова $w$ превосходит $1$. Тогда для всех $x,y\in A_1$
будем делать в $w$ следующие замены пока это возможно:
$$\begin{aligned}
b_0xy&\mapsto b_0xd_0b_0y,\\
b_0^2xd_0b_0&\mapsto b_0^2xd_0^2b_0^2,\\
b_0^2xd_0y&\mapsto b_0^2xd_0^2b_0y.
\end{aligned}$$
При этих заменах сохраняется и $(-1)$-сбалансированность, и
значение глубины слова $w$. Легко видеть, что, так как
по предположению глубина слова $w$ больше $1$, после
таких замен обязательно появятся подслова вида
\begin{equation}\label{b2xd2}
b_0^2xd_0^2,\quad\mbox{где }x\in A_1
\end{equation}
С каждым таким подсловом произведем следующую цепочку преобразований,
каждое из которых получено применением одного или нескольких
соотношений (\ref{rel1})--(\ref{rel7}):
$$\begin{aligned}
b_0^2a_1d_0^2&\mapsto b_0\bigl(b_0a_1(d_0d_1d_2)b_2b_1\bigr)d_0\\
&\mapsto b_0\bigl(b_0(d_0d_1d_2)a_1b_2b_1)d_0\\
&\mapsto b_0\bigl(d_1d_2a_1b_2b_1\bigr)d_0\\
&\mapsto b_0b_{-1}d_{-1}\bigl(d_1d_2a_1b_2b_1\bigr)d_0\\
&\mapsto b_0b_{-1}\bigl(d_1d_2a_1b_2b_1\bigr)d_{-1}d_0\\
&\mapsto b_0b_{-1}\bigl(b_0a_1d_0\bigr)d_{-1}d_0\\
&\mapsto b_0b_{-1}b_{-2}d_{-2}\bigl(b_0a_1d_0\bigr)d_{-1}d_0\\
&\mapsto b_0b_{-1}b_{-2}b_0a_1d_0d_{-2}d_{-1}d_0\\
&\mapsto b_0b_{-1}b_{-2}b_0a_0d_0d_1d_0d_{-2}d_{-1}d_0\\
&\mapsto b_0b_{-1}b_{-2}b_0a_0b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)d_0d_{-2}d_{-1}d_0\\
&\mapsto b_0b_{-1}b_{-2}b_0a_0b_{-1}d_0(d_{-1}d_0d_1)(d_{-2}d_{-1})d_0\\
&\mapsto b_0b_{-1}b_{-2}b_0a_0b_{-1}d_0d_{-1}d_0(d_{-2}d_{-1})d_1d_0\\
&\mapsto b_0b_{-1}b_{-2}b_0a_0b_{-1}d_0d_{-1}d_0(d_{-2}d_{-1}d_0d_1)b_1b_0d_1d_0\\
&\mapsto b_0b_{-1}b_{-2}(d_{-2}d_{-1}d_0d_1)b_0a_0b_{-1}d_0d_{-1}d_0b_1b_0d_1d_0\\
&\mapsto d_1b_0a_0b_{-1}d_0d_{-1}d_0b_1b_0d_1d_0\\
&\mapsto d_1b_0a_0b_{-1}d_0(d_{-1}d_0d_1)b_1b_1b_0d_1d_0\\
&\mapsto d_1b_0a_0b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)d_0b_1b_1b_0d_1d_0\\
&\mapsto d_1b_0(a_0d_0d_1)d_0b_1b_1b_0d_1d_0\\
&\mapsto d_1b_0a_1d_0b_1^2b_0d_1d_0;
\end{aligned}$$
заменяя в этих формулах $a_1$ на $d_1$ и $a_0$ на $b_0$,
получим цепочку преобразований
$$b_0^2d_1d_0^2\mapsto d_1b_0d_1d_0b_1^2b_0d_1d_0;$$
меняя во всех словах порядок букв на обратный
и заменяя $a_i,b_i,c_i,d_i$ на $c_i,d_i,a_i,b_i$ соответственно,
получим преобразования
$$\begin{aligned}
b_0^2c_1d_0^2&\mapsto
b_0b_1d_0d_1^2b_0c_1d_0b_1,\\
b_0^2b_1d_0^2&\mapsto
b_0b_1d_0d_1^2b_0b_1d_0b_1,
\end{aligned}$$
которые также получаются последовательным применением соотношений
(\ref{rel1})--(\ref{rel7}). Все указанные преобразования сохраняют
$i$-сбалансированность при $i\ne0$. Применив указанные
преобразования ко всем подсловам вида~(\ref{b2xd2}),
получим слово меньшей глубины. Повторив процедуру
достаточное число раз, мы получим слово глубины $1$,
т.~е.\ разлагаемое в произведение подслов из следующего
списка:
$$a_1,\quad b_1,\quad c_1,\quad d_1,\quad
b_0a_1d_0,\quad b_0b_1d_0,\quad b_0c_1d_0,\quad b_0d_1d_0.$$
С помощью преобразований
$$\begin{aligned}
b_0a_1d_0&\mapsto b_0(a_1d_2)b_2d_0\\
&\mapsto b_0(a_2b_1)b_2d_0\\
&\mapsto a_2b_0b_1b_2d_0\\
&\mapsto (a_2b_1)d_1b_0b_1b_2d_0\\
&\mapsto (a_1d_2)d_1b_0b_1b_2d_0\\
&\mapsto (a_1b_1)b_0(d_0d_1d_2)d_1b_0b_1b_2d_0\\
&\mapsto (a_0d_0)b_0d_1(d_0d_1d_2)b_0b_1b_2d_0\\
&\mapsto (a_0d_1)d_0d_1b_0d_2b_1b_2d_0\\
&\mapsto (a_1b_0)d_0d_1b_0b_1b_0(d_0d_1d_2)b_1b_2d_0\\
&\mapsto a_1d_1b_0b_1b_0b_1(d_0d_1d_2)b_2d_0\\
&\mapsto a_1d_1b_0b_1b_0b_1d_0d_1d_0\\
&\mapsto a_1d_1b_0b_1d_0(b_0^2b_1d_0^2)b_0d_1d_0\\
&\mapsto a_1d_1b_0b_1d_0(b_0b_1d_0d_1^2b_0b_1d_0b_1)b_0d_1d_0\\
&=a_1d_1(b_0b_1d_0)(b_0b_1d_0)d_1^2(b_0b_1d_0)b_1(b_0d_1d_0)
\end{aligned}$$
и аналогичной цепочки, дающей преобразование
$$b_0^2c_1d_0^2\mapsto
(b_0b_1d_0)d_1(b_0d_1b_0)b_1^2(b_0d_1d_0)(b_0d_1d_0)b_1c_1,$$
примененных ко всех подсловам вида $b_0a_1d_0$ и $b_0c_1d_0$,
получаем слово, которое раскладывается в произведение
подслов из меньшего списка:
$$a_1,\quad b_1,\quad c_1,\quad d_1,\quad
b_0b_1d_0,\quad b_0d_1d_0.$$
Это слово мы по-прежнему обозначаем через $w$. Пусть
$$w=y_1\dots y_m,$$
где $y_1,\dots,y_m\in\{a_1,b_1,c_1,d_1,b_0b_1d_0,b_0d_1d_0\}$ ---
соответствующее разложение.

При всех указанных выше преобразованиях слово $w$ оставалось
$1$-сбалансированным. Это значит, что если заменить
все подслова вида $a_1,d_1,b_0d_1d_0$ на открывающую скобку,
а подслова $b_1,c_1,b_0c_1d_0$ --- на закрывающую, то
получится строка сбалансированных скобок. Это значит,
что найдутся такие $i_1,\dots,i_{m-1}\ge0$, что
все слова
$$\begin{aligned}
x_1&=y_1b_1^{i_1},\\
x_2&=d_1^{i_1}y_2b_1^{i_2},\\
&\;\;\vdots\\
x_{m-1}&=d_1^{i_{m-2}}y_{m-1}b_1^{i_{m-1}},\\
x_m&=d_1^{i_{m-1}}y_m
\end{aligned}$$
являются $1$-сбалансированными. При этом слово
$x_1\dots x_m$, эквивалентно слову $w$ по модулю соотношений
(\ref{rel3}). Удаляя в каждом из $x_j$ подслова вида $d_1^kb_1^k$,
получим слова из требуемого множества
$$\{d_1^{i-1}a_1b_1^i,d_1^ic_1b_1^{i-1},
d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i,d_1^ib_0b_1d_0b_1^{i-1}\}_{i>0},$$
а также некоторое количество слов $\varnothing$.
Лемма~\ref{razlozh} доказана.\доказано

Вернемся к доказательству теоремы~\ref{y.infty}. Пусть два слова
$w_1,w_2$ в алфавите $A$ соответствуют изотопным плетениям.
Мы хотим доказать, что они получаются друг из друга применением
соотношений~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}). Очевидно, мы
имеем $\varphi(w_1)=\varphi(w_2)$. Очевидно также,
что из букв $\{b_i,d_i\}$ можно составить такое слово $u$,
что $\varphi(u)_i=-\varphi(w_1)_i$ для всех $i\ne0$.
Мы имеем:
$$\varphi(w_1u)_i=\varphi(w_2u)=0,\quad\mbox{для всех }i\ne0.$$
Отсюда легко видеть, что для достаточно большого $N$
слова
$$w_j'=
d_1^{N^2}\dots d_{N-1}^{2N}d_N^Nb_0^{N^2}\dots b_{2-N}^{2N}b_{1-N}^N
w_jud_{1-N}^Nd_{2-N}^{2N}\dots d_0^{N^2}b_N^Nb_{N-1}^{2N}\dots b_1^{N^2},$$
где $j=1,2$ являются $i$-сбалансированными для всех $i\ne0$.

В силу соотношений~(\ref{rel3}) слова $w_1$ и $w_2$
эквивалентны по модулю соотношений~(\ref{rel1})--(\ref{rel7})
тогда и только тогда, когда то же самое можно сказать
про слова $w_1'$ и $w_2'$.

Таким образом, достаточно доказать наше утверждение в случае,
когда слова $w_1$ и $w_2$ являются $i$-сбалансированными при всех
$i\ne0$. В этом случае, согласно лемме~\ref{razlozh},
с помощью соотношений~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}) оба эти слова
можно разложить в произведение образующих~(\ref{image1})--(\ref{image4})
подполугруппы $T\in Y_\infty$. Поэтому осталось
лишь доказать, что соотношения~(\ref{iso1})--(\ref{r4}),
определяющие плугруппу $T$, вытекают из
соотношений~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}) при
отождествлениях~(\ref{image1})--(\ref{image4}).
Мы посвятим этой проверке следующий параграф.\доказано

\section{Проверка соотношений}\label{checking}
Итак, здесь мы проверим, что соотношения~(\ref{iso1})--(\ref{r4})
для элементов~(\ref{image1})--(\ref{image4}) выполнены
в силу~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}).

Соотншонение~(\ref{iso1}):
$$\begin{aligned}
\alpha_i\beta_{i+1}&=d_1^{i-1}a_1b_1^id_1^{i+1}c_1b_1^i\\
&=d_1^{i-1}(a_1d_1c_1b_1)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_1(b_0c_0)b_1)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_1d_2b_2(b_0c_0)b_1)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_1d_2(b_0c_0)b_2b_1)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_1d_2(d_1c_1)b_2b_1)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_1b_1b_0(d_0d_1d_2)d_1c_1b_2b_1)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_1b_1b_0d_1c_1(d_0d_1d_2)b_2b_1)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}((a_1b_1)b_0(d_1c_1)d_0)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}((a_0d_0)b_0(b_0c_0)d_0)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_0b_0c_0d_0)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}b_1^{i-1}\\
&=1.
\end{aligned}$$
Заметим, что попутно мы доказали соотношение
$$b_ia_id_ic_i=1,$$
симметричное соотношению~(\ref{rel8}).

Соотношение~(\ref{iso3}):
$$\begin{aligned}
\alpha_{i+1}\beta_i&=d_1^ia_1b_1^{i+1}d_1^ic_1b_1^{i-1}\\
&=d_1^ia_1b_1c_1b_1^{i-1}\\
&=d_1^i(a_1b_1c_1d_1)b_1^i\\
&=d_1^ib_1^i\\
&=1.
\end{aligned}$$
Докажем теперь следующие вспомогательные соотношения:
\begin{align}
\label{aux1}
d_1^{i-1}a_1b_1^i&=b_0^{i-1}a_0d_0^i,\\
\label{aux2}
d_1^ic_1b_1^{i-1}&=b_0^ic_0d_0^{i-1},
\end{align}
$i>0$. Для этого воспользуемся индукцией. При $i=1$ эти соотношения
совпадают с~(\ref{rel4}), (\ref{rel5}). Для $i>1$
имеем:
$$\begin{aligned}
d_1^{i-1}a_1b_1^i&=d_1(d_1^{i-2}a_1b_1^{i-1})b_1\\
&=d_1(d_1^{i-2}a_1b_1^{i-1})b_1\\
&=d_1(b_0^{i-2}a_0d_0^{i-1})b_1\\
&=b_0b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)(b_0^{i-2}a_0d_0^{i-1})b_1\\
&=b_0b_{-1}(b_0^{i-2}a_0d_0^{i-1})(d_{-1}d_0d_1)b_1\\
&=b_0b_{-1}(b_0^{i-2}a_0d_0^{i-1})d_{-1}d_0\\
&=b_0b_{-1}(d_1^{i-2}a_1b_1^{i-1})d_{-1}d_0\\
&=b_0(d_1^{i-2}a_1b_1^{i-1})b_{-1}d_{-1}d_0\\
&=b_0(b_0^{i-2}a_0d_0^{i-1})d_0\\
&=b_0^{i-1}a_0d_0^i.
\end{aligned}$$
Аналогично доказывается соотношение~(\ref{aux2}).

Докажем соотношение~(\ref{iso4}).
$$\begin{aligned}
\alpha_i\alpha_{i+j+1}&=d_1^{i-1}a_1b_1^id_1^{i+j}a_1b_1^{i+j+1}\\
&=d_1^{i-1}(a_1d_1)(d_1^{j-1}a_1b_1^j)b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}(a_2b_2)(b_0^{j-1}a_0d_0^j)b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}(b_0^{j-1}a_0d_0^j)(a_2b_2)b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1^{j-1}a_1b_1^j)(a_1d_1)b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i+j-2}a_1b_1^ja_1b_1^i\\
&=(d_1^{i+j-2}a_1b_1^{i+j-1})(d_1^{i-1}a_1b_1^i)\\
&=\alpha_{i+j-1}\alpha_i.
\end{aligned}$$
Аналогично, на этот раз с помощью~(\ref{aux2}), доказывается
соотношение~(\ref{iso5}). Для~(\ref{iso6}) имеем:
$$\begin{aligned}
\beta_i\beta_{i+j-1}&=d_1^ic_1b_1^{i-1}d_1^{i+j-1}c_1b_1^{i+j-2}\\
&=d_1^{i+1}(b_1c_1)(d_1^jc_1b_1^{j-1})b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i+1}(d_2c_2)(b_0^jc_0d_0^{j-1})b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i+1}(b_0^jc_0d_0^{j-1})(d_2c_2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i+1}(d_1^jc_1b_1^{j-1})(b_1c_1)b_1^{i-1}\\
&=(d_1^{i+j+1}c_1b_{i+j})(d_1^ic_1b_1^{i-1})\\
&=\beta_{i+j+1}\beta_i.
\end{aligned}$$
Аналогично доказывается соотношение~(\ref{iso7}).

Для доказательства равенств~(\ref{iso8})--(\ref{iso10})
мы будем пользоваться следующими соотношениями (при $i>0$):
\begin{align}
\label{sigma1}
b_0d_1d_0b_1=b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0=d_1d_2d_1b_2b_1^2,\\
\label{sigmai}
d_1^{i-1}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{i-1}=b_0^{i-1}(b_0d_1d_0b_1)d_0^{i-1}.
\end{align}
Докажем~(\ref{sigma1}):
$$\begin{aligned}
b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0&=b_0^2b_{-1}d_0(d_{-1}d_0d_1)b_1\\
&=b_0^2b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)d_0b_1\\
&=b_0d_1d_0b_1\\
&=b_0d_1(d_0d_1d_2)b_2b_1^2\\
&=b_0(d_0d_1d_2)d_1b_2b_1^2\\
&=d_1d_2d_1b_2b_1^2.
\end{aligned}$$
Соотношение~(\ref{sigmai}) докажем по индукции. При $i=1$
оно тривиально. Далее, имеем:
$$\begin{aligned}
d_1^{i-1}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{i-1}&=d_1(d_1^{i-2}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{i-2})b_1\\
&=d_1(b_0^{i-2}(b_0d_1d_0b_1)d_0^{i-2})b_1\\
&=d_1(b_0^{i-2}(b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0)d_0^{i-2})b_1\\
&=b_0b_{-1}b_{-2}(d_{-2}d_{-1}d_0d_1)
(b_0^{i-2}(b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0)d_0^{i-2})b_1\\
&=b_0b_{-1}b_{-2}(b_0^{i-2}(b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0)d_0^{i-2})
(d_{-2}d_{-1}d_0d_1)b_1\\
&=b_0b_{-1}b_{-2}(b_0^{i-2}(b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0)d_0^{i-2})
d_{-2}d_{-1}d_0\\
&=b_0b_{-1}b_{-2}(d_1^{i-2}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{i-2})d_{-2}d_{-1}d_0\\
&=b_0b_{-1}(d_1^{i-2}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{i-2})d_{-1}d_0\\
&=b_0(d_1^{i-2}b_{-1}(b_0d_1d_0b_1)d_{-1}b_1^{i-2})d_0\\
&=b_0(d_1^{i-2}b_{-1}(d_1d_2d_1b_2b_1^2)d_{-1}b_1^{i-2})d_0\\
&=b_0(d_1^{i-2}(d_1d_2d_1b_2b_1^2)b_1^{i-2})d_0\\
&=b_0(d_1^{i-2}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{i-2})d_0\\
&=b_0(b_0^{i-2}(b_0d_1d_0b_1)d_0^{i-2})d_0\\
&=b_0^{i-1}(b_0d_1d_0b_1)d_0^{i-1}
\end{aligned}$$

Соотношение (\ref{iso8}):
$$\begin{aligned}
\alpha_i\sigma_{i+j+1}&=(d_1^{i-1}a_1b_1^i)(d_1^{i+j}b_0d_1d_0b_1^{i+j+1})\\
&=d_1^{i-1}(a_1d_1)(d_1^{j-1}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{j-1})b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}(a_2b_2)(b_0^{j-1}(b_0d_1d_0b_1)d_0^{j-1})b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}(a_2b_2)(b_0^{j-1}(b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0)d_0^{j-1})b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}(b_0^{j-1}(b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0)d_0^{j-1})(a_2b_2)b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1^{j-1}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{j-1})(a_1d_1)b_1^{i+1}\\
&=\sigma_{i+j-1}\alpha_i.
\end{aligned}$$
Соотношение (\ref{iso9}):
$$\begin{aligned}
\alpha_{i+j+1}\sigma_i&=(d_1^{i+j}a_1b_1^{i+j+1})(d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i)\\
&=d_1^{i-1}(d_1^{j+2}a_1b_1^{j+2})b_0d_1d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}(b_0^{j+1}a_0d_0^{j+2})b_0d_1d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0(b_0^ja_0d_0^{j+1})d_1d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0d_1(d_1^{j-1}a_1b_1^j)d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0d_1(b_0^{j-1}a_0d_0^j)d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0d_1d_0(b_0^ja_0d_0^{j+1})b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0d_1d_0(d_1^ja_1b_1^{j+1})b_1^i\\
&=\sigma_i\alpha_{i+j+1}.
\end{aligned}$$
Соотношения (\ref{iso12}) и (\ref{iso13}) доказываются подобным образом.
Докажем (\ref{iso10}):
$$\begin{aligned}
\sigma_i\sigma_{i+j+1}
&=(d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i)(d_1^{i+j}b_0d_1d_0b_1^{i+j+1})\\
&=d_1^{i-1}b_0d_1d_0(d_1^{j}(b_0d_1d_0b_1)b_1^j)b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0d_1d_0(b_0^j(b_0d_1d_0b_1)d_0^j)b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0d_1(b_0^{j-1}(b_0d_1d_0b_1)d_0^{j-1})d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0d_1(d_1^{j-1}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{j-1})d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0(d_1^j(b_0d_1d_0b_1)b_1^j)d_1d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0(b_0^j(b_0d_1d_0b_1)d_0^j)d_1d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}(b_0^{j+1}(b_0d_1d_0b_1)d_0^{j+1})b_0d_1d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}(d_1^{j+1}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{j+1})b_0d_1d_0b_1^i\\
&=\sigma_{i+j+1}\sigma_i.
\end{aligned}$$
Соотношения (\ref{iso11}):
$$\begin{aligned}
\alpha_i\sigma_{i+1}\beta_{i+2}
&=(d_1^{i-1}a_1b_1^i)(d_1^ib_0d_1d_0b_1^{i+1})(d_1^{i+2}c_1b_1^{i+1})\\
&=d_1^{i-1}(a_1b_0d_1d_0d_1c_1b_1)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_1b_0d_1(d_0d_1d_2)b_2c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_1b_0(d_0d_1d_2)d_1b_2c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_1d_1d_2d_1b_2c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_2b_2d_2d_1b_2c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_2d_1b_2c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_2(d_1d_2d_3)b_3b_2^2c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}((d_1d_2d_3)a_2b_3b_2^2c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0d_0(d_2d_3a_2b_3b_2^2)c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0(d_2d_3a_2b_3b_2^2)d_0c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1(d_1d_2d_3)a_2b_3b_2^2d_0c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1a_2(d_1d_2d_3)b_3b_2^2d_0c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1a_2d_1b_2(d_0c_1)b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1(a_2b_2)b_1b_0(d_0d_1d_2)d_1b_2(d_0c_1)b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1(a_1d_1)b_1b_0d_1(d_0d_1d_2)b_2(b_1c_0)b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1a_1b_0d_1(d_0c_0)b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1a_1b_0d_1(b_{-1}c_{-1})b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1a_1b_0(b_{-1}c_{-1})d_1b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1a_1b_0(d_0c_0)b_1)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1a_1c_0b_1)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1(a_1b_1)b_0b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)c_0b_1)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1(a_0d_0)b_0b_{-1}c_0(d_{-1}d_0d_1)b_1)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1(a_0b_{-1})c_0d_{-1}d_0)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1a_{-1}(d_0c_0)d_{-1}d_0)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1(a_{-1}b_{-1}c_{-1}d_{-1})d_0)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1d_0)b_1^{i-1}\\
&=\sigma_i^{-1},
\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}
\alpha_i\sigma_{i+1}^{-1}\beta_{i+2}
&=(d_1^{i-1}a_1b_1^i)(d_1^{i+1}b_0b_1d_0b_1^i)(d_1^{i+2}c_1b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}((a_1d_1)b_0b_1d_0d_1(d_1c_1)b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}((a_2b_2)b_0b_1d_0d_1(b_0c_0)b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(b_0(a_2b_2)b_1d_0d_1d_2b_2(b_0c_0)b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(b_0(a_1d_1)b_1d_0d_1d_2(b_0c_0)b_2b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(b_0a_1(d_0d_1d_2)(d_1c_1)b_2b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(b_0a_1(d_1c_1)(d_0d_1d_2)b_2b_1^2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(b_0(a_1d_1c_1b_1)d_1d_0b_1)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{i-1}\\
&=\sigma_i.
\end{aligned}$$
Соотношения~(\ref{iso2}) симметричны соотношениям~(\ref{iso11}),
их доказательство получается из доказательства
соотношений~(\ref{iso11}) обращением порядка букв во всех словах
и заменами $a_i\leftrightarrow c_i$, $b_i\leftrightarrow d_i$.

Соотношения~(\ref{r1}) симметричны друг другу. Докажем одно из них:
$$\begin{aligned}
\alpha_i\sigma_{i+1}\beta_i
&=(d_1^{i-1}a_1b_1^i)(d_1^ib_0d_1d_0b_1^{i+1})(d_1^ic_1b_1^{i-1})\\
&=d_1^{i-1}(a_1b_0d_1d_0(b_1c_1))b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_1b_0d_1d_0(d_2c_2)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_1b_0d_1(b_1c_1)d_0)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}((a_1b_0)c_1d_0)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_0(d_1c_1)d_0)b_1^{i-1}\\
&=d_1^{i-1}(a_0(b_0c_0)d_0)b_1^{i-1}\\
&=1.
\end{aligned}$$
Соотношения~(\ref{r2}) также симметричны друг другу. Докажем одно из них:
$$\begin{aligned}
\alpha_{i+1}\sigma_i\beta_{i+1}
&=(d_1^ia_1b_1^{i+1})(d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i)(d_1^{i+1}c_1b_1^i)\\
&=d_1^i((a_1b_1)b_1b_0d_1d_0d_1c_1)b_1^i\\
&=d_1^i((a_0d_0)b_1b_0d_1d_0d_1c_1)b_1^i\\
&=d_1^i(d_2(a_0d_0)(b_2b_1b_0)d_1d_0d_1c_1)b_1^i\\
&=d_1^i(d_2(a_1b_1)(b_2b_1b_0)d_1d_0d_1c_1)b_1^i\\
&=d_1^i(d_2(b_2b_1b_0)(a_1b_1)d_1d_0d_1c_1)b_1^i\\
&=d_1^i(b_1b_0a_1(d_0d_1d_2)b_2c_1)b_1^i\\
&=d_1^i(b_1b_0(d_0d_1d_2)a_1b_2c_1)b_1^i\\
&=d_1^i(d_2a_1(b_2c_1))b_1^i\\
&=d_1^i(d_2(a_1d_1)c_2)b_1^i\\
&=d_1^i(d_2(a_2b_2)c_2)b_1^i\\
&=1.
\end{aligned}$$
Соотношение~(\ref{r3}) тривиально следует из~(\ref{rel3}). Осталось
проверить соотношение~(\ref{r4}):
$$\begin{aligned}
\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i
&=(d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i)(d_1^ib_0d_1d_0b_1^{i+1})
(d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i)\\
&=d_1^{i-1}b_0d_1^2d_0b_1^2b_0d_1d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0d_1b_0b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)d_0b_1^2b_0d_1d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0d_1b_0b_{-1}d_0(d_{-1}d_0d_1)b_1^2b_0d_1d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0d_1(d_2b_2)(b_0b_{-1}d_0d_{-1}d_0)b_1b_0d_1d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0d_1d_2(b_0b_{-1}d_0d_{-1}d_0)b_2b_1b_0d_1d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0d_1d_2b_0b_{-1}d_0(d_{-1}d_0d_1)b_1b_2b_1b_0d_1d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0d_1d_2b_0b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)d_0b_1b_2b_1b_0d_1d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0^2b_{-1}(d_{-1}d_0d_1d_2)(d_1d_0b_1)b_2b_1b_0d_1d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0^2b_{-1}(d_1d_0b_1)(d_{-1}d_0d_1d_2)b_2b_1b_0d_1d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0^2b_{-1}d_1d_0b_1d_{-1}d_1d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0^2b_{-1}d_1d_0b_1d_1d_{-1}d_0b_1^i\\
&=d_1^{i-1}b_0^2b_{-1}d_1d_0(d_{-1}d_0d_1)b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}b_0^2b_{-1}d_1(d_{-1}d_0d_1)d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}b_0^2d_1d_0d_1d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}b_0^2d_1(d_0d_1d_2)b_2d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}b_0^2(d_0d_1d_2)d_1b_2d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}b_0d_1d_2d_1b_2(b_{-1}d_{-1})d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}b_0b_{-1}d_1d_2d_1b_2d_{-1}d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}b_0b_{-1}b_0(d_0d_1d_2)d_1b_2d_{-1}d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}b_0b_{-1}b_0d_1(d_0d_1d_2)b_2d_{-1}d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}b_0b_{-1}b_0d_1d_0d_1d_{-1}d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}b_0b_{-1}b_0d_1d_0d_{-1}d_1d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}b_0b_{-1}(b_0d_1d_0)(d_{-1}d_0d_1d_2)b_2b_1b_0d_1d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^{i-1}b_0b_{-1}(d_{-1}d_0d_1d_2)(b_0d_1d_0)b_2b_1b_0d_1d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^id_2b_0d_1d_0b_2b_1b_0d_1d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^id_2b_0^2b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)d_0b_2b_1b_0d_1d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^id_2b_0^2b_{-1}d_0(d_{-1}d_0d_1)(b_2b_1b_0)d_1d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^id_2(b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0)(b_2b_1b_0)d_1^2d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^i(b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0)b_1b_0d_1^2d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^ib_0^2b_{-1}d_0(d_{-1}d_0d_1)b_1^2b_0d_1^2d_0b_1^{i+1}\\
&=d_1^ib_0^2b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)d_0b_1^2b_0d_1^2d_0b_1^{i+1}\\
&=(d_1^ib_0d_1d_0b_1^{i+1})(d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i)
(d_1^ib_0d_1d_0b_1^{i+1})\\
&=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}.
\end{aligned}$$

\section{Полугруппы $Y_n$ и группы $D_n$ при $n<\infty$.}
В \S\ref{yinfty} мы определили подполугруппы $Y_n\subset Y_\infty$,
где $n=3,4,\dots$. Очевидно для любого $n\ge3$
полугруппа $Y_n$ совпадает с подполугруппой в $Y_\infty$,
порожденной множеством $A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_{n-1}$,
где $A_i=\{a_i,b_i,c_i,d_i\}$.

\begin{theorem}
При $n\ge7$ полугруппа $Y_n$ изоморфна полугруппе, порожденной
множеством образующих $A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_{n-1}$
и теми из соотношений~\/{\rm(\ref{rel1})--(\ref{rel7}),}
которые включают лишь образующие из этого множества.
\end{theorem}

\доказательство
Очевидно, подполугруппа $Y_n$ изоморфна подполугруппе $Y'_n$
в $Y_\infty$, порожденной множеством $A_{-2}\cup A_{-1}\cup\dots
\cup A_{n-5}\cup A_{n-4}$. Доказательство нашего утверждения
для полугруппы $Y'_n$ при $n\ge7$
практически буквально повторяет
доказательство теоремы~\ref{y.infty}. Действительно,
элементы~(\ref{image1})--(\ref{image4}) лежат в $Y'_n$.
Все преобразования, использованные в доказательстве леммы~\ref{razlozh},
сохраняют множество слов в алфавите $A_{-2}\cup A_{-1}\cup\dots
\cup A_{n-5}\cup A_{n-4}$ при $n\ge7$. В случае конечного $n$
при определении слов $w_{1,2}'$ в конце \S\ref{yinfty} можно просто
вычеркнуть все буквы $b_i,d_i$, где $i>n-4$ или $i<-2$.
Наконец, при проверке соотношений в \S\ref{checking}
возникали только образующие из $A_{-2}\cup\dots\cup A_3$.
\доказано

При $5\le n<\infty$ полугруппы $Y_n$ можно также задать по-другому.
Добавив к имеющимся образующим плетения сложности $1$, действующие
нетривиально в $P_{n-1}$ и $P_0$, получим следующие копредставления.

\begin{theorem}
При $n\ge5$ полугруппа $Y_n$ изоморфна полугруппе, порожденой
множеством образующих $\{a_i,b_i,c_i,d_i\}_{i\in\integer_n}$
и соотношениями
\begin{equation}\label{d_1d_n}
d_1d_2\dots d_n=1,
\end{equation}
$$a_id_{i+1}=a_{i+1}b_i,\eqno(\ref{rel1})$$
$$d_ic_{i+1}=b_{i+1}c_i,\eqno(\ref{rel2})$$
$$a_id_i=a_{i+1}b_{i+1},\eqno(\ref{rel4})$$
$$b_ic_i=d_{i+1}c_{i+1},\eqno(\ref{rel5})$$
$$a_ib_ic_id_i=1,\eqno(\ref{rel8})$$
$$b_id_i=d_ib_i=1,\eqno(\ref{rel3})$$
$$x_iy_j=y_jx_i,\eqno(\ref{rel6})$$
для всех $i,j\in\integer_n$ таких, что $i-j\notin\{-1,0,1\}$
и $x_i\in\{a_i,b_i,c_i,d_i\}$, $y_j\in\{a_j,b_j,c_j,d_j\}$.
Индексы во всех соотношениях считаются вычетами по модулю $n$.
\end{theorem}
Снова доказательство почти ничем не отличается от докзательства
теоремы~\ref{y.infty}. Здесь образующие $a_i,b_i,c_i,d_i$ при
$1\le 1\le n-1$ те же, что и раньше.
Новые образующие $a_n,b_n,c_n,d_n$, действующие в полуплоскостях
$P_{n-1}$ и $P_0$, в силу указанных соотношений выражаются через остальные:
$$\begin{aligned}
a_n&=a_1d_2\dots d_{n-1},\\
b_n&=d_1\dots d_{n-1},\\
c_n&=d_1\dots d_{n-2}c_{n-1},\\
d_n&=b_{n-1}\dots b_1.
\end{aligned}$$
Соотношения~(\ref{rel7}), которые в этот раз мы опустили,
легко следуют из~(\ref{rel6})~и (\ref{d_1d_n}).

При $n=3,4$ доказательство не проходит, поскольку оно использует
перестановочность элементов из $A_i$ с элементами из $A_{i+2}$
и из $A_{i+3}$, которая не всегда имеет место при $n=3,4$.
Однако, полугруппы $Y_3$ и $Y_4$ также являются
конечно определенными. Для $Y_3$ этот факт был установлен
в работах~\cite{dyn1}, \cite{dyn2}. Для $Y_4$ доказательство аналогично. Мы
приведем здесь лишь формулировку соответствующего утверждения.

\begin{theorem}
Полугруппа $Y_3$ изоморфна полугруппе, порожденной образующими
$\{a_i,b_i,c_i,d_i\}_{i\in\integer_3}$ и соотношениями
$$\begin{aligned}
a_i=a_{i+1}d_{i-1},\quad
b_i=a_{i-1}c_{i+1},\quad
&c_i=b_{i-1}c_{i+1},\quad
d_i=a_{i+1}c_{i-1},\\
d_1d_2d_3&=1,\\
b_id_i=d_ib_i&=1,\\
x_iy_i&=y_ix_i,
\end{aligned}$$
где $x_i\in\{a_{i-1}b_{i-1},\;d_{i-1}c_{i-1},
\;b_{i+1}d_{i-1}d_{i+1}b_{i-1}\}$,
$y_i\in\{a_i,\;b_i,\;c_i,\;b_{i-1}d_id_{i-1}\},$ $i\in\integer_3$.

Полугруппа $Y_4$ изоморфна полугруппе, порожденной образующими
$\{a_i,b_i,c_i,d_i\}_{i\in\integer_4}$ и соотношениями
$$\begin{aligned}
d_1d_2d_3d_4&=1,\\
a_id_{i+1}&=a_{i+1}b_i,\\
d_ic_{i+1}&=b_{i+1}c_i,\\
a_id_i&=a_{i+1}b_{i+1},\\
b_ic_i&=d_{i+1}c_{i+1},\\
a_ib_ic_id_i&=1,\\
b_id_i=d_ib_i&=1,\\
x_iy_{i+2}&=y_{i+2}x_i,
\end{aligned}$$
где $x_i\in\{a_i,b_i,c_i,d_i\}$, $y_i\in\{a_i,b_i,c_i,d_i,
b_{i-1}a_id_{i-1},b_{i-1}b_id_{i-1},b_{i-1}c_id_{i-1}\}$,
$i\in\integer_4$.
\end{theorem}

\begin{theorem}
При $n\ge3$ центр $Z(Y_n)$ полугруппы $Y_n$ изоморфен полугруппе
$L$ изотопических классов неориентированных зацеплений в $\real^3$.
\end{theorem}

\доказательство
Очевидно, что полугруппа
$L$ вложена в $Y_\infty$ как подполугруппа элементов, {\it представимых\/}
сбалансированными словами. Очевидно также, что эта подполугруппа
содержится во всех подполугруппах $T,Y_3,Y_4,\dots$,
и что ее элементы коммутируют со всеми элементами из $Y_\infty$.
Докажем обратное, что если слово $w$ задает центральный
элемент $x$ полугруппы $Y_n$, то $x$
лежит в подполугруппе $L\subset Y_n\subset Y_\infty$.

Действительно, нетрудно показать, что если $x\in Z(Y_n)$, то
$\varphi(x)=0$. Отсюда для некоторых $N$ и $i_1,i_2,\dots,i_N\in
\{1,2,\dots,n-1\}$
слово $a_{i_1}\dots a_{i_N}wc_{i_N}\dots c_{i_1}$
сбалансировано. Но тогда для соответствующего плетения $t$
существует сфера, вложенная в $\real^3$, разделяющая его
на некоторое зацепление и плетение, представляющее единичный
элемент полугруппы $Y_n$. Значит, такая сфера существует
и для эквивалентного плетения, заданного словом
$a_{i_1}\dots a_{i_N}c_{i_N}\dots c_{i_1}w$, а значит,
и для плетения, заданного словом $w$,
поскольку слово $a_{i_1}\dots a_{i_N}c_{i_N}\dots c_{i_1}$
сбалансировано.\доказано

Рассмотрим теперь группу $D_n$ обратимых элементов полугруппы $Y_n$,
$n\ge3$.

\begin{theorem}
При $n\ge3$ группа $D_n$ конечно определена и может быть задана
образующими $\{d_i\}_{i\in\integer_n}$ и следующим
набором соотношений:

при $n\ge5$
$$d_id_j=d_jd_i,\quad\mbox{если }i-j\ne\pm1,$$
$$d_1d_2\dots d_n=1,$$
где все индексы рассматриваются по модулю $n$;

при $n=4$
$$\begin{aligned}
d_1d_2d_3d_4&=1,\\
d_id_{i+2}&=d_{i+2}d_i,\\
d_{i+2}(d_{i-1}^{-1}d_id_{i-1})&=
(d_{i-1}^{-1}d_id_{i-1})d_{i+2},
\end{aligned}$$
$i\in\integer_4$;

при $n=3$
$$\begin{aligned}
d_1d_2d_3&=1,\\
d_iu_i&=u_id_i,\\
u_iu_{i+1}&=u_{i+1}u_i,
\end{aligned}$$
где $u_i=d_{i+1}^{-1}d_{i-1}d_{i+1}d_{i-1}^{-1}$, $i\in\integer_3$.

Коммутант группы $D_n$ изоморфен группе кос $B_\infty$
на бесконечном числе нитей.
\end{theorem}

\доказательство
Известно, что группой обратимых элементов в полугруппе $T$
является группа кос $B_\infty$, порождаемая
образующими $\sigma_i$ (рис.~\ref{generators})
и соотношениями~(\ref{iso10}) и (\ref{r4}). Доказательство
первого утверждения нашей теоремы может быть получено
из доказательства аналогиных утверждений для полугрупп
$Y_n$, $n=3,4,\dots,\infty$, заменой $T$ на $B_\infty$
и вычеркиванием всех соотношений и выкладок, использующих
образующие $a_i,c_i$ полугрупп $Y_n$ и образующие $\alpha_i,\beta_i$
полугруппы $T$. В частности, таким образом мы получим,
что группа обратимых элементов полугруппы $Y_\infty$ порождается
образующими $d_i$, $i\in\integer$ и соотношениями:
$$\begin{aligned}
d_id_j&=d_jd_i,\quad\rlap{если $|i-j|>1$},\\
d_i(d_{i-1}d_id_{i+1})&=(d_{i-1}d_id_{i+1})d_i.
\end{aligned}$$

Очевидно также, что ядро ограничения гомоморфизма $\varphi$
на группу $D_n$ содержит коммутант группы $D_n$ и
в то же время является подгруппой, изоморфной группе кос $B_\infty$.
Таким образом, осталось показать, что коммутант есть вся эта
подгруппа, а не ее часть. Это легко следует из того факта,
что образующие (\ref{image3}), перекручивающие пару нитей,
лежат в коммутанте группы $D_\infty$.\доказано

\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{tur89}
В.\,Г.\,Тураев.
Операторные инварианты связок и $R$-матрицы.
{\it Известия Акад.\ Наук СССР Сер.\ Мат.} {\bf53:5} (1989), 1073--1107.
\bibitem{matv}
С.\,В.\,Матвеев.
Классификация достаточно больших трехмерных многообразий.
{\it Успехи математических наук}, {\bf52} (1997), 5, 147--174.
\bibitem{dyn1}
И.\,А.\,Дынников.
Трехстраничный подход в теории узлов.
Кодирование и локальные движения.
{\it Функциональный анализ и его приложения}, {\bf33} (1999), 4, 25--37.
\bibitem{dyn2}
И.\,А.\,Дынников.
Трехстраничный подход в теории узлов. Универсальная полугруппа.
{\it Функциональный анализ и его приложения}, {\bf34} (2000), 1.
\end{thebibliography}
\end{document}



