\documentclass[a4paper,11pt,draft]{amsart}
\usepackage{russcorr,amsmath,amssymb,amscd,amsthm}
\voffset=-9mm
\frenchspacing
\emergencystretch=5pt
\tolerance=400
\unitlength=1mm

\newtheorem{formula}{}[section]
\newtheorem{corollary}[formula]{Следствие}
\newtheorem{lemma}[formula]{Лемма}
\newtheorem{theorem}[formula]{Теорема}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[formula]{Определение}
\newtheorem{example}[formula]{Пример}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Замечание}
\renewcommand{\proofname}{Доказательство}
\renewcommand{\abstractname}{Аннотация}

\renewcommand{\l}{\lambda}
\newcommand{\f}{\varphi}
\renewcommand{\O}{\Omega}
\newcommand{\M}{{\mathrm M}}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}

\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\newcommand{\<}{\langle}
\renewcommand{\>}{\rangle}
\newcommand{\ind}{\mathop{\rm ind}\nolimits}
\newcommand{\sign}{\mathop{\rm sign}}
\newcommand{\td}{\mathop{\rm td}}
\newcommand{\bcp}{\overline{\C P}{}^2}

\begin{document}

\title[Роды Хирцебруха многообразий с действием тора]
{Роды Хирцебруха многообразий\\ с действием тора}
\author{Т.\,Е. Панов}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ,
грант \номер~99-01-00090 и INTAS, грант \номер~96-0770.}
\address{Московский государственный университет
им.~М.\,В.~Ломоносова, ме\-ха\-ни\-ко-математический факультет}
\email{tpanov@mech.math.msu.su}

\begin{abstract}
Квазиторическое многообразие представляет собой гладкое $2n$-многообразие
$M^{2n}$ с действием компактного тора $T^n$, причем действие локально
изоморфно стандартному действию $T^n$ на $\C^n$, а пространство орбит
диффеоморфно, как многообразие с углами, некоторому простому многограннику
$P^n$. Название объясняется тем, что по своим топологическим и комбинаторным
свойствам квазиторические многообразия аналогичны неособым алгебраическим
торическим многообразиям. В отличие от торических многообразий,
квазиторические многообразия могут не быть комплексными, однако, они всегда
допускаю стабильно (или слабо почти) комплексную структуру, и их классы
кобордизмов порождают кольцо комплексных кобордизмов. Как было недавно
показано В.\,М.~Бухштабером и Н.~Рэем, стабильно комплексная структура на
квазиторическом многообразии определяется в чисто комбинаторных терминах, а
именно, ориентацией многогранника и функцией на множестве гиперграней
многогранника, принимающей значение в примитивных векторах целочисленной
решетки. Мы вычисляем $\chi_y$-род квазиторического многообразия с
фиксированной стабильно комплексной структурой в терминах соответствующих
комбинаторных данных. В частности, приводятся явные формулы для классического
рода Тодда и сигнатуры. Мы также связываем наши результаты с известными
фактами из теории торических многообразий.
\end{abstract}

\maketitle


\section*{Введение}

Многообразия с действием тора возникают в различных областях топологии,
алгебраической и дифференциальной геометрии и математической физики.
Специальные свойства действия тора или дополнительные структуры на
многообразиях часто позволяют решать соответствующие задачи геометрическими
или комбинаторными методами. Наиболее известными примерами здесь являются
гамильтоновы действия тора в симплектической геометрии и торические
многообразия в алгебраической геометрии. Оба случая допускают естественное
топологическое обобщение, а именно, {\it квазиторические многообразия},
введенные Дэвисом и Янушкиевичем в работе~\cite{DJ} (там был использован
термин ``торические многообразия" (``toric manifolds"), а термин
``квазиторические многообразия" впервые появился в работе~\cite{BP2} ввиду
причин обсуждаемых ниже). Квазиторическое многообразие~--- многообразие с
действием тора, которое удовлетворяет двум естественным условиям. Первое
условие заключается в том, что действие локально выглядит как стандартное
действие тора на комплексном пространстве диагональными матрицами. Если это
условие выполнено, то пространство орбит является {\it многообразием с
углами}; второе условие заключается в том, что это многообразие с углами
диффеоморфно выпуклому простому многограннику. Эти два свойства хорошо
известны для неособых алгебраических торических
многообразий~\cite{Da},~\cite{Fu}. Квазиторические многообразия сохраняют
большинство топологических и комбинаторных свойств неособых торических
многообразий, однако при этом они могут не допускать комплексной структуры.
Как и торические многообразия, квазиторические многообразия можно определять
в чисто комбинаторных терминах. А именно, каждое квазиторическое многообразие
определяется комбинаторными данными: решеткой граней некоторого простого
многогранника и {\it характеристической функцией}, которая сопоставляет
каждой гиперграни некоторый целочисленный примитивный вектор, определенный с
точностью до знака. Несмотря на простоту определения, квазиторические
многообразия охватывают достаточно широкий класс многообразий (например, как
было показано в~\cite{BR1}, каждый класс комплексных кобордизмов содержит
квазиторическое многообразие). Все это позволяет использовать квазиторические
многообразия для решения топологических задач комбинаторными методами и
наоборот. Многие из таких взаимосвязей были впервые открыты в теории
торических многообразий. Некоторые новые приложения были получены в
работах~\cite{BP1}, \cite{BP2}, где квазиторические многообразия изучались в
общем контексте ``многообразий, определяемых простыми многогранниками".
Другим красивым примером проявления взаимосвязей между топологией и
комбинаторикой, возникающих в теории квазиторических многообразий, является
вычисление $KO$-функтора квазиторического многообразия, проведенное
в~\cite{BB}.

Здесь необходимо также заметить, что используемый нами термин
``квазиторическое многообразие" не является общеупотребимым. Некоторые
авторы, начиная с Дэвиса и Янушкиевича, называют объекты нашего изучения
просто ``торическими многообразиями" (``toric manifolds").  При этом термин
``toric manifold" уже используется в алгебраической геометрии для обозначения
неособых алгебраических торических многообразий (smooth toric varieties)~---
см., например,~\cite{Ba}. В силу этих причин мы предпочитаем использовать
термин ``квазиторические многообразия".

В настоящей работе мы вычисляем известный инвариант класса кобордизмов~---
$\chi_y$-род для квазиторических многообразий в терминах определяющих их
комбинаторных данных. Наиболее важными частными случаями здесь являются
сигнатура и род Тодда, которые соответствуют значениям $y=1$ и $y=0$.
Сигнатура является инвариантом класса ориентированных кобордизмов и
определена для любого ориентированного многообразия (мы полагаем сигнатуру
многообразия равной нулю в размерностях, отличных от $4k$), в то время как
определение рода Тодда, как и общего $\chi_y$-рода, требует определения
классов Чженя многообразия. Как уже отмечалось выше, квазиторическое
многообразие может не быть комплексным, однако, как недавно было показано
Бухштабером и Рэем~\cite{BR2}, оно всегда допускает стабильно (или слабо
почти) комплексную структуру. Более того, стабильно комплексные структуры
(т.е. комплексные структуры в стабильном касательном расслоении) также
определяются комбинаторно: они задаются ориентацией многогранника и выбором
знаков векторов, соответствующих гиперграням. Это в свою очередь эквивалентно
выбору ориентации самого многообразия и всех подмногообразий, соответствующих
гиперграням. Квазиторическое многообразие с такой дополнительной структурой
было названо в~\cite{BR2} {\it полиориентированным}. Таким образом,
полиориентированное квазиторическое многообразие задает класс комплексных
кобордизмов и для него определены классы Чженя и комплексные роды Хирцебруха.
Мы вычисляем $\chi_y$-род полиориентированного квазиторического многообразия
(т.е. с фиксированной стабильно комплексной структурой) в терминах его
комбинаторных данных. Для этого мы строим специальное действие окружности,
имеющее лишь изолированные неподвижные точки и применяем обобщенную формулу
Лефшеца, доказанную Атьей и Боттом в~\cite{AB}. Полученная формула позволяет
вычислять $\chi_y$-род как сумму по всем вершинам многогранника некоторых
величин, определяемых ``локальной комбинаторикой" вблизи вершины. В эту
формулу входит один внешний параметр (целочисленный примитивный вектор
$\nu$), который не влияет на ответ. В случае торических многообразий род
Тодда (или арифметический род) всегда равен 1 (см.~\cite{Fu}). Тем не менее, в
общем случае это не может быть выполнено, так как род Тодда является
инвариантом комплексных кобордизмов, а каждый класс комплексных кобордизмов
содержит квазиторическое многообразие~\cite{BR1}.

Часть результатов данной работы была анонсирована в~\cite{Pa}.

Пользуясь случаем, автор выражает благодарность проф.~В.\,М.~Бухштаберу и
проф.~Найджелу Рэю за стимулирующие обсуждения, которые вдохновили некоторые
идеи из этой работы.


\section{Квазиторические многообразия и многогранники, векторы,
соответствующие гиперграням и ребрам, и стабильно комплексные структуры}

Здесь мы кратко обсуждаем определение квазиторических многообразий и вводим
на них стабильно комплексные структуры, следуя~\cite{DJ} и~\cite{BR2}.  Мы
также описываем некоторые соотношения между набором комбинаторных данных,
соответствующих квазиторическому многообразию, которые будут использованы в
дальнейшем.

Под {\it выпуклым многогранником} $P^n$ размерности $n$ мы понимаем
ограниченное подмножество в $\R^n$, задаваемое как пересечение конечного
числа полупространств:
\begin{equation}
\label{ptope}
  P^n=\{x\in\R^n:\<l_i,x\>\ge-a_i,\; i=1,\ldots,m,\}
\end{equation}
для некоторых $l_i\in(\R^n)^{*}$, $a_i\in\R$. Многогранник $P^n$ называется
{\it простым}, если ограничивающие его гиперплоскости находятся в общем
положении в каждой вершине, т.е. в каждой вершине сходится в точности $n$
граней коразмерности 1 (или {\it гиперграней}). Таким образом каждая точка
простого многогранника содержится в некоторой окрестности, аффинно изоморфной
открытому подмножеству положительного конуса
$$
  \R^n_+=\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n:x_1\ge0,\ldots,x_n\ge0\}.
$$
Это означает в точности, что простой многогранник $P^n$ является $n$-мерным
{\it многообразием с углами}. Грани $P^n$ всех размерностей образуют по
отношению к включению частично упорядоченное множество~--- {\it решетку
граней} $P^n$. Скажем, что два многогранника являются {\it комбинаторно
эквивалентными}, если они имеют одинаковые решетки граней. Два многогранника
являются комбинаторно эквивалентными тогда и только тогда, когда они
диффеоморфны как многообразия с углами.

Пусть $M^{2n}$ --- компактное $2n$-мерное многообразие с действием
компактного тора $T^n$. Тор $T^n$ можно рассматривать как подгруппу
комплексного тора $(\C^{*})^n$ стандартным образом:
$$
  T^n=\{\bigl(e^{2\pi i\f_1},\ldots,e^{2\pi i\f_n}\bigr)\in\C^n\},
$$
где $(\f_1,\ldots,\f_n)$ пробегает все точки $\R^n$. Скажем, что действие
$T^n$ {\it локально изоморфно стандартному} диагональному действию $T^n$ на
$\C^n$, если каждая точка $x\in M^{2n}$ содержится в некоторой
$T^n$-инвариантной окрестности $U(x)$, для которой существует эквивариантный
гомеоморфизм $f:U(x)\to W$ на некоторое ($T^n$-инвариантное) открытое
подмножество $W\subset\C^n$. Последнее утверждение означает, что существует
автоморфизм $\theta:T^n\to T^n$ такой, что $f(t\cdot y)=\theta(t)f(y)$ для
всех $t\in T^n$, $y\in U(x)$.  Пространство орбит для такого действия $T^n$
является $n$-мерным многообразием с углами; мы будем называть $M^{2n}$ {\it
квазиторическим многообразием,} если пространство орбит диффеоморфно (как
многообразие с углами) некоторому простому многограннику $P^n$. Таким
образом, пространство орбит квазиторического многообразия представляется
в виде объединения граней так, что точки из внутренности каждой $k$-грани
соответствуют орбитам с одним и тем же стабилизатором коразмерности $k$. В
частности, действие $T^n$ является свободным над внутренностью $P^n$, в то
время как вершины $P^n$ соответствуют неподвижным точкам действия $T^n$ на
$M^{2n}$.

Пусть теперь $M^{2n}$~--- квазиторическое многообразие с пространством орбит
$P^n$ и $\mathcal F=\{F_1,\ldots, F_m\}$~--- множество всех граней
коразмерности~1 (гиперграней) многогранника $P^n$, $m=\sharp\mathcal F$.
Внутренность каждой гиперграни $F_i$ состоит из орбит, имеющих в качестве
стабилизатора одну и ту же одномерную подгруппу $G_{F_i}\subset T^n$. Эта
однопараметрическая подгруппа определяется целочисленным примитивным вектором
$\l_i=(\l_{1i},\ldots,\l_{ni})^\top$ соответствующей решетки $L\simeq\Z^n$:
\begin{equation}
\label{fisotr}
  G_{F_i}=\{\bigl(e^{2\pi i\l_{1i}\f},\ldots,e^{2\pi
  i\l_{ni}\f}\bigr)\in T^n\},
\end{equation}
где $\f\in\R$. Естественно, вектор $\l_i$ определен лишь с точностью до
знака. Таким образом мы можем ввести {\it характеристическую функцию}
$\l:\mathcal F\to\Z^n$, переводящую гипергрань в соответствующий примитивный
вектор. По определению квазиторического многообразия, характеристическая
функция удовлетворяет следующему условию: если $n$ гиперграней
$F_{i_1},\ldots,F_{i_n}$ сходятся в одной вершине $p$, т.е.
$p=F_{i_1}\cap\cdots\cap F_{i_n}$, то целочисленные векторы
$\l(F_{i_1}),\ldots,\l(F_{i_n})$ составляют целочисленный базис решетки
$L\simeq\Z^n$. Как было показано в~\cite{DJ}, характеристическая пара
$\left(P^n,\l:\mathcal F\to\Z^n\right)$, удовлетворяющая предыдущему условию
определяет квазиторическое многообразие $M^{2n}$ однозначно с точностью до
эквивариантного диффеоморфизма. Как только нумерация гиперграней $P^n$
фиксирована, характеристическую функцию можно рассматривать как целочисленную
$(n\times m)$-матрицу $\Lambda$, столбцами которой являются векторы $\l(F_i)$
в качестве столбцов. Каждую вершину $p$ многогранника $P^n$ можно задать как
пересечение $n$ гиперграней:  $p=F_{i_1}\cap\cdots\cap F_{i_n}$. Обозначим
через $\Lambda_{(p)}=\Lambda_{(i_1,\ldots,i_n)}$ максимальный минор матрицы
$\Lambda$, образованный столбцами $i_1,\ldots,i_n$. Тогда имеем
\begin{equation}
\label{L}
  \det\Lambda_{(p)}=\det(\l_{i_1},\ldots,\l_{i_n})=\pm1.
\end{equation}
Далее мы будем называть векторы $\l_i=\l(F_i)$ {\it векторами гиперграней}.
Заметим еще раз, что на данный момент они определены лишь с точностью до
знака.

Для того, чтобы определить роды квазиторических многообразий нам понадобятся
ориентация и стабильно комплексные структуры. Фиксируем ориентацию $T^n$ и
ориентируем многогранник $P^n$ путем выбора ориентации в объемлющем
пространстве $\R^n$. Эти две ориентации вместе определяют ориентацию
квазиторического многообразия $M^{2n}$. Конструкция характеристической
функции $\l$ включает в себя произвольный выбор знаков для векторов
$\l(F_i)$. Прообраз $\pi^{-1}(F_i)$ грани $F_i$ относительно проекции
$\pi:M^{2n}\to P^n$ на пространство орбит является квазиторическим
подмногообразием $M_i\subset M^{2n}$ коразмерности 2. Это подмногообразие
остается неподвижными под действием одномерной подгруппы $G_{F_i}\subset T^n$
(см.~(\ref{fisotr})), которая, таким образом, действует в нормальном
расслоении $\nu_i:=\nu(M_i\subset M^{2n})$. Следовательно, мы можем ввести на
$\nu_i$ структуру комплексного расслоения (а также ориентацию) путем выбора
знака примитивного вектора $\l(F_i)$. Задав ориентацию $M^{2n}$ (что
эквивалентно заданию ориентации $P^n$) и ориентацию $\nu_i$ (т.е. выбрав знак
$\lambda_i$), мы задаем ориентацию подмногообразия $M_i$, соответствующего
гиперграни $F_i$ (или, что эквивалентно, задаем ориентацию самой гиперграни
$F_i\subset P^n$). Ориентированное подмногообразие $M_i\subset M^{2n}$
коразмерности 2 задает, при помощи стандартной топологической конструкции,
комплексное одномерное расслоение $\sigma_i$ над $M^{2n}$, которое
ограничивается на $\nu_i$ над $M_i$. Следующая теорема доказана Бухштабером
и Рэем в~\cite{BR2}:
\begin{theorem}
\label{stcomst}
  Для любого квазиторического многообразия $M^{2n}$ имеет место следующий
  изоморфизм вещественных $2m$-расслоений:
  $$
    \tau(M^{2n})\oplus\R^{2(m-n)}\simeq\sigma_1\oplus\cdots\oplus\sigma_m.
  $$
  Здесь $\tau(M^{2n})$~--- касательное расслоение, а
  $\R^{2(m-n)}$ обозначает тривиальное $2(m-n)$-расслоение над $M^{2n}$.
\end{theorem}

\noindent
Ориентированное квазиторическое многообразие $M^{2n}$, с выбранными
ориентациями подмногообразий $M_i=\pi^{-1}(F_i)$ было названо в~\cite{BR2}
{\it полиориентированным}. Таким образом, знаки векторов гиперграней
$\{\l_i\}$ полиориентированного квазиторического многообразия могут быть
определены однозначно. Теорема~\ref{stcomst} позволяет ввести на
полиориентированном квазиторическом многообразии каноническую стабильно
комплексную структуру. Итак, ориентированный простой многогранник
$P^n$ с характеристической матрицей $\Lambda$ не только определяют
(полиориентированное) квазиторическое многообразие, но также выделяют класс в
кольце комплексных кобордизмов $\O_U$.

Пусть $E_j$~--- ребро (одномерная грань) $P^n$. Точки из внутренности $E_j$
соответствуют орбитам с одним и тем же $(n-1)$-мерным стабилизатором
$G_{E_j}$. Эту подгруппу можно записать в виде
\begin{equation}
\label{eisotr}
  G_{E_j}=\{\bigl(e^{2\pi i\f_1},\ldots,e^{2\pi i\f_n}\bigr)\in T^n:
  \mu_{1j}\f_1+\ldots+\mu_{nj}\f_n=0\},
\end{equation}
т.е. $G_{E_j}$ определяется примитивным (ко)вектором
$\mu_j=(\mu_{1j},\ldots,\mu_{nj})^\top$ в двойственной (или весовой) решетке
$W=L^{*}$. Мы назовем $\mu_j$ {\it вектором ребра} $E_j$; опять таки он
определен лишь с точностью до знака. Векторы ребер удовлетворяют условию,
аналогичному условию для векторов гиперграней: если
$E_{j_1},\ldots,E_{j_n}$~--- ребра, сходящиеся в одной вершине $p$, то
\begin{equation}
\label{M}
  \det\M_{(p)}=\det(\mu_{j_1},\ldots,\mu_{j_n})=\pm1.
\end{equation}
Здесь $\M_{(p)}$ обозначает квадратную матрицу со столбцами
$\mu_{j_1},\ldots,\mu_{j_n}$. Предыдущее равенство означает, что векторы
$\mu_{j_1},\ldots,\mu_{j_n}$ составляют целочисленный базис решетки
$W\simeq\Z^n$.

Следующая лемма позволяет однозначно выбрать знаки векторов ребер для
полиориентированного квазиторического многообразия ``локально" в каждой
вершине.
\begin{lemma}
\label{lm}
  Для каждой вершины $p$ многогранника $P^n$ знаки векторов ребер
  $\mu_{j_1},\ldots,\mu_{j_n}$ сходящихся в $p$ можно выбрать таким образом,
  что
  $$
   \M_{(p)}^\top\cdot\Lambda_{(p)}=E
  $$
  где $E$ обозначает единичную матрицу, а матрицы $\Lambda_{(p)}$, $\M_{(p)}$
  имеют тот же вид, что и в~{\rm(\ref{L}),~(\ref{M})}.
\end{lemma}
\begin{proof}
Так как нас интересуют лишь векторы гиперграней и ребер, сходящихся в вершине
$p=F_{i_1}\cap\cdots\cap F_{i_n}$, мы можем перенумеровать векторы ребер
$\mu_{j_1},\ldots,\mu_{j_n}$ в вершине $p$ индексами $\{i_1,\ldots,i_n\}$
векторов гиперграней, сходящихся в $p$. А именно, положим $j_k=i_k$, если
$E_{j_k}\not\subset F_{i_k}$ (т.е. вектор гиперграни и вектор ребра имеют
будут иметь один и тот же индекс, если соответствующие гипергрань и ребро
$P^n$ порождают все $\R^n$). Тогда при $k\ne l$ имеем $E_{i_k}\subset
F_{i_l}$. Следовательно, $G_{F_{i_l}}\subset G_{E_{i_k}}$ и
\begin{equation}
\label{mlne}
  \<\mu_{i_k},\l_{i_l}\>=0, \quad k\ne l
\end{equation}
(см.~(\ref{fisotr}) и~(\ref{eisotr})). Далее, так как $\mu_{i_k}$~---
примитивный вектор, из~(\ref{mlne}) вытекает, что
$\<\mu_{i_k},\l_{i_k}\>=\pm1$. Изменяя, если необходимо, знак $\mu_{i_k}$, мы
получаем
\begin{equation}
\label{mle}
  \<\mu_{i_k},\l_{i_k}\>=1,
\end{equation}
что вместе с~(\ref{mlne}) дает $\M_{(p)}^\top\cdot\Lambda_{(p)}=E$, как и
требуется.
\end{proof}

Далее мы будем предполагать, что как только на квазиторическом многообразии
фиксирована стабильно комплексная структура (т.е. выбраны знаки столбцов
характеристической $(n\times m)$-матрица $\Lambda$), знаки векторов ребер
выбираются локально в каждой вершине как описано в лемме~\ref{lm}.

Зафиксируем ориентацию тора $T^n$ раз и навсегда; тогда выбор ориентации
$M^{2n}$ эквивалентен выбору ориентации многогранника $P^n\subset\R^n$. Таким
образом, ребра $P^n$, сходящиеся в одной вершине $p$ можно канонически
упорядочить таким образом, что упорядоченный набор векторов, направленных
вдоль ребер от вершины $p$, составляет положительно ориентированный базис
$\R^n$. В дальнейшем мы будем предполагать, что как только ориентация
$M^{2n}$ зафиксирована, для каждой вершины $p$ векторы ребер
$\mu_{i_1},\ldots,\mu_{i_n}$, соответствующие $p$, упорядочены в соответствии
с порядком самих ребер, установленным выше при помощи ориентации. В этой
ситуации сами векторы ребер $\mu_{i_1},\ldots,\mu_{i_n}$ могут составлять
положительно либо отрицательно ориентированный базис $\R^n$. Таким образом,
задав ориентацию многогранника $P^n$ и знаки векторов ребер в соответствии с
леммой~\ref{lm}, мы приходим к следующему
\begin{definition}
\label{sign}
  Для данного полиориентированного квазиторического многообразия $M^{2n}$ с
  пространством орбит $P^n$ определим {\it знак} вершины $p\in P^n$ как
  $$
    \sigma(p)=\det\M_{(p)}=\det(\mu_{i_1},\ldots,\mu_{i_n}),
  $$
  где $\mu_{i_1},\ldots,\mu_{i_n}$~--- канонически упорядоченные векторы
  ребер, сходящихся в $p$.
\end{definition}
Лемма~\ref{lm} показывает, что
$$
  \sigma(p)=\det\Lambda_{(p)}=\det(\l_{i_1},\ldots,\l_{i_n}),
$$
где $\l_{i_1},\ldots,\l_{i_n}$~--- векторы гиперграней, сходящихся в $p$.
Заметим, что приведенное выше определение знака вершины уже появлялось
в~\cite{Do} при изучении характеристических функций и квазиторических
многообразий над заданным простым многогранником.

\medskip

Как уже отмечалось во введении, квазиторические многообразия могут
рассматриваться как топологическое обобщение неособых алгебраических {\it
торических многообразий}. Торическое многообразие~\cite{Da}~--- это
нормальное алгебраическое многообразие, на котором имеется действие
комплексного тора $(\C^{*})^n$ со всюду плотной орбитой. Хотя любое неособое
компактное торическое многообразие является квазиторическим, мы
проиллюстрируем описанные выше конструкции в более частном случае неособых
проективных торических многообразий, происходящих из многогранников. Каждое
такое торическое многообразие получается при помощи стандартной процедуры
(см.~\cite{Fu}) из простого многогранника~(\ref{ptope}) в $\R^n$ с вершинами
в точках целочисленной решетки $\Z^n\subset\R^n$ (такие многогранники
называются {\it целочисленными}). Нормальные ковекторы $l_i$ гиперграней
целочисленного многогранника $P^n$ могут быть выбраны целочисленными и
примитивными. Торическое многообразие $M_P$, получаемое из целочисленного
простого многогранника $P^n$, является проективными и имеет комплексную
размерность $n$. Компактный тор $T^n\subset(\C^{*})^n$ действует на $M_P$ с
пространством орбит $P^n$; более того, существует отображение из $M_P$ в
$\R^n$, постоянное на $T^n$-орбитах, образом которого является $P^n$ ({\it
отображение моментов}).  Многообразие $M_P$ является неособым, если для любой
вершины $p\in P^n$ нормальные ковекторы $l_{i_k}$, $k=1,\ldots,n$
гиперграней, содержащих $p$, составляют целочисленный базис двойственной
решетки. Это есть в точности условие того, что отображение, ставящее в
соответствие гиперграни $F_i$ вектор $l_i$, является характеристической
функцией. Легко видеть, что это есть именно характеристическая функция
многообразия $M_P$, рассматриваемого как квазиторическое многообразие (или
обратно, квазиторическое многообразие, соответствующее этой
характеристической функции эквивариантно диффеоморфно $M_P$). Таким образом,
векторы гиперграней многообразия $M_P$ есть просто нормальные (ко)векторы
соответствующего многогранника $P^n$. Векторами ребер тогда являются
примитивные целочисленные векторы вдоль ребер $P^n$. Кратко это можно
сформулировать так: в случае торического $M_P$ ``векторы гиперграней"~---
это ``векторы, нормальные к гиперграням", а ``векторы ребер"~--- это
``векторы вдоль ребер". Лемма~\ref{lm} в этом случае утверждает, что если
ребро содержится в гиперграни, то вектор вдоль ребра ортогонален нормальному
вектору гиперграни, а если ребро не содержится в гиперграни, то знаки
соответствующих векторов могут быть выбраны таким образом, чтобы их скалярное
произведение было равно 1. Так как торическое многообразие $M_P$ является
комплексным, в его касательном расслоении имеется каноническая комплексная
структура. Можно показать, что эта комплексная структура, рассматриваемая как
стабильно комплексная структура на квазиторическом многообразии,
соответствует выбору знаков векторов гиперграней $l_i$, при котором все они
``направлены внутрь многогранника $P^n$". Локальный выбор знаков,
определяемый леммой~\ref{lm} для векторов ребер соответствует тому, что все
они ``направлены от вершины". Заметим, что глобально лемма~\ref{lm} дает два
знака, соответствующих ребру, по одному для каждого из его концов. Эти знаки
всегда различны в случае торических многообразий, однако в общем случае это
неверно. Заметим также, что так как вектор ребра для торического многообразия
есть вектор вдоль ребра, направленный от вершины, для любой вершины $p$ в
этом случае имеет место $\sigma(p)=1$ (см. определение~\ref{sign}).

\section{Действие окружности с изолированными неподвижными точками на
квазиторическом многообразии}

В этом разделе мы показываем, что существует одномерная подгруппа тора $T^n$,
действующая на квазиторическом многообразии с изолированными неподвижными
точками, соответствующими вершинам простого многогранника. Это действие
будет использовано в дальнейшем для вычисления $\chi_y$-рода как суммы
вкладов неподвижных точек (при помощи формул Атьи--Ботта и Атьи--Хирцебруха).

Итак, пусть задано полиориентированное квазиторическое многообразие $M^{2n}$
с пространством орбит $P^n$ и векторами ребер $\{\mu_i\}$. Таким образом,
многообразие $M^{2n}$ снабжено стабильно комплексной структурой, как описано
в предыдущем разделе.

\begin{theorem}
\label{sa}
Пусть $\nu\in\Z^n$ --- целочисленный примитивный вектор такой, что
$\<\mu_i,\nu\>\ne0$ для всех векторов ребер $\mu_i$. Тогда одномерная
подгруппа $S^1\subset T^n$, определяемая вектором $\nu$ действет на $M^{2n}$
с изолированными неподвижными точками, соответствующими вершинам $P^n$. В
касательном пространстве $T_pM^{2n}$ в неподвижной точке, соответствующей
вершине $p=F_{i_1}\cap\cdots\cap F_{i_n}$ это действие индуцирует
представление $S^1$ с весами $\<\mu_{i_1},\nu\>,\ldots,\<\mu_{i_n},\nu\>$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Рассмотрим действие $T^n$ вблизи неподвижной точки $p\in M^{2n}$,
соответствующей вершине $p=F_{i_1}\cap\cdots\cap F_{i_n}$ многогранника
$P^n$. Действие $T^n$ индуцирует унитарное $T^n$-представление в касательном
пространстве $T_pM^{2n}$. Выберем комплексные координаты $(x_1,\ldots,x_n)$ в
$T_pM^{2n}$, в которых касательная прямая к двумерному подмногообразию
$\pi^{-1}(E_{i_k})\subset M^{2n}$ в точке $p$ задается уравнениями
$x_1=\ldots=\widehat{x_k}=\ldots=x_n=0$ ($x_k$ пропущено). Соответствующий
стабилизатор $G_{E_{i_k}}\subset T^n$ задается уравнением
$\<\mu_{i_k},\f\>=0$ в $T^n$ (см.~(\ref{eisotr})). Следовательно, веса
$T^n$-представления суть $\mu_{i_1},\ldots,\mu_{i_n}$, т.е. элемент
$t=\bigl(e^{2\pi i\f_1},\ldots,e^{2\pi i\f_n}\bigr)\in T^n$ действует в
$T_pM^{2n}$ как
\begin{align}
\label{taction}
  t\cdot(x_1,\ldots,x_n)&=\bigl(
  e^{2\pi i(\mu_{1i_1}\f_1+\cdots+\mu_{ni_1}\f_n)}x_1,\ldots,
  e^{2\pi i(\mu_{1i_n}\f_1+\cdots+\mu_{ni_n}\f_n)}x_n \bigr)\\
  &=\bigl(e^{2\pi i\<\mu_{i_1},\Phi\>}x_1,\ldots,
  e^{2\pi i\<\mu_{i_n},\Phi\>}x_n \bigr),\notag
\end{align}
где $(x_1,\ldots,x_n)\in T_pM^{2n}$, $\Phi=(\f_1,\ldots,\f_n)$.

Примитивный вектор $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)^\top\in\Z^n$ определяет
однопараметрическую подгруппу $\{\bigl(e^{2\pi i\nu_1\f},\ldots,e^{2\pi
i\nu_n\f}\bigr), \f\in\R\}\subset T^n$. Как следует из~(\ref{taction}), эта
окружность действует на $T_pM^{2n}$ как
$$
  s\cdot(x_1,\ldots,x_n)=
  \bigl(e^{2\pi i\<\mu_{i_1},\nu\>\f}x_1,\ldots,
  e^{2\pi i\<\mu_{i_n},\nu\>\f}x_n \bigr),
$$
где $s=e^{2\pi i\f}\in S^1$. Неподвижная точка $p$ является изолированной,
если все веса $\<\mu_{i_1},\nu\>,\ldots,\<\mu_{i_n},\nu\>$ соответствующего
$S^1$-действия ненулевые. Поэтому если $\<\mu_i,\nu\>\ne0$ для всех векторов
ребер, то действие $S^1$ на $M^{2n}$, определяемое вектором $\nu$, имеет лишь
изолированные неподвижные точки.
\end{proof}

Заметим, что условие $\<\mu_i,\nu\>\ne0$ для всех $\mu_i$ из предыдущей
теоремы означает, что примитивный вектор $\nu$ является ``вектором общего
положения". В случае неособого торического многообразия, определяемого
целочисленным простым многогранником $P^n$, это условие означает, что вектор
$\nu$ не является ортогональным ни к какому ребру $P^n$ (или, эквивалентно,
никакая нормальная к $\nu$ гиперплоскость не пересекает $P^n$ по грани
размерности $>0$).

В следующем разделе нам также понадобится следующее
\begin{definition}
\label{ind}
Для заданного $S^1$-действия на $M^{2n}$, определяемого примитивным вектором
$\nu$, {\it индекс} вершины $p=F_{i_1}\cap\cdots\cap F_{i_n}$ есть
$$
  \ind_\nu(p)=\{\sharp k:\<\mu_{i_k},\nu\><0\},
$$
т.е. количество отрицательных весов действия в точке $p$.
\end{definition}

Следующая лемма показывает, что индекс вершины $p$ можно определить
непосредственно в терминах векторов гиперграней, сходящихся в $p$, не
прибегая к вычислению векторов ребер.

\begin{lemma}
  Пусть $p=F_{i_1}\cap\cdots\cap F_{i_n}$ --- вершина $P^n$. Тогда индекс
  $\ind_\nu(p)$ равен числу отрицательных коэффициентов в представлении
  вектора $\nu$ в виде линейной комбинации базисных векторов
  $\l_{i_1},\ldots,\l_{i_n}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Из леммы~\ref{lm} вытекает, что для любой вершины
$p=F_{i_1}\cap\cdots\cap F_{i_n}$ имеет место равенство
$$
  \nu=\<\mu_{i_1},\nu\>\l_{i_1}+\ldots+\<\mu_{i_n},\nu\>\l_{i_n}.
$$
Тогда лемма следует из определения $\ind_\nu(p)$.
\end{proof}


\section{Формулы для $\chi_y$-рода, сигнатуры и рода Тодда}

Здесь мы вычисляем $\chi_y$-род полиориентированного квазиторического
многообразия в терминах его характеристической пары $(P^n,\Lambda)$. Для
этого мы применяем формулу Атьи--Хирцебруха для построенного в предыдущем
разделе действия окружности. Мы также отдельно рассматриваем важнейшие
частные случаи сигнатуры и рода Тодда.

\begin{theorem}
\label{chi}
  Пусть $M^{2n}$~--- полиориентированное квазиторическое многообразие и
  $\nu\in\Z^n$~--- целочисленный примитивный вектор такой, что
  $\<\mu_i,\nu\>\ne0$ для всех векторов ребер $\mu_i$. Тогда имеет место
  следующая формула для $\chi_y$-рода многообразия $M^{2n}$:
  $$
    \chi_y(M^{2n})=\sum_{p\in P^n}(-y)^{\ind_\nu(p)}\sigma(p),
  $$
  где сумма берется по всем вершинам многогранника $P^n$, а $\sigma(p)$ и
  $\ind_\nu(p)$ задаются определениями~{\rm\ref{sign}} и~{\rm\ref{ind}}.
\end{theorem}
\begin{proof}
Согласно формуле Атьи--Хирцебруха (\cite{AH}, см. также~\cite{Kr}, где эта
формула получена в рамках теории кобордизмов), $\chi_y$-род стабильно
комплексного многообразия $X$ с действием $S^1$ вычисляется как
\begin{equation}
\label{AH}
  \chi_y(X)=\sum_i(-y)^{n(F_i)}\chi_y(F_i),
\end{equation}
где сумма берется по всем неподвижным подмногообразиям $F_i\subset X$, а
$n(F_i)$ обозначает количество отрицательных весов представления $S^1$ в
нормальном расслоении к $F_i\subset X$. В нашем случае все неподвижные
подмногообразия являются изолированными неподвижными точками,
соответствующими вершинам $p\in P^n$.  Поэтому $\chi_y(F_i)=\chi_y(p)=\pm1$ в
зависимости от того, совпадает ли ориентация $\R^n$, определяемая базисом
$\mu_{i_1},\ldots,\mu_{i_n}$ с исходной ориентацией многогранника $P^n$.
Следовательно, для квазиторического многообразия $M^{2n}$ мы можем заменить
$\chi_y(F_i)$ на $\sigma(p)$ в формуле~(\ref{AH}). Теорема~\ref{sa}
показывает, что веса индуцированного $S^1$-представления в $T_pM^{2n}$ равны
$\<\mu_{i_1},\nu\>,\ldots,\<\mu_{i_n},\nu\>$. Поэтому $n(F_i)$ в
формуле~(\ref{AH}) есть в точности $\ind_\nu(p)$ (см.
определение~\ref{ind}), откуда и вытекает требуемая формула.
\end{proof}

Для любого $2n$-мерного стабильно комплексного многообразия $M^{2n}$ значение
$\chi_y$-рода $\chi_y(M^{2n})$ при $y=-1$ есть $n$-е число Чженя
$c_n[M^{2n}]$. Из теоремы~\ref{chi} вытекает
\begin{equation}
\label{cn}
  c_n[M^{2n}]=\sum_{p\in P^n}\sigma(p).
\end{equation}
В случае комплексного $M^{2n}$ (например, если $M^{2n}$ является неособым
торическим многообразием) мы имеем $\sigma(p)=1$ для всех вершин $p\in P^n$,
а $c_n[M^{2n}]$ равно эйлеровой характеристике $e(M^{2n})$. Таким образом
для комплексных $M^{2n}$ эйлерова характеристика равна числу вершин
многогранника $P^n$ (что хорошо известно для торических многообразий). Для
общего квазиторического многообразия $M^{2n}$ эйлерова характеристика также
равна числу вершин $P^n$ (на самом деле эйлерова характеристика произвольного
$S^1$-многообразия равна сумме эйлеровых характеристик неподвижных
подмногообразий), однако это число может отличаться от $c_n[M^{2n}]$.

\medskip

Значение $y=1$ для $\chi_y$-рода соответствует сигнатуре (или $L$-роду).
Теорема~\ref{chi} в этом случае дает
\begin{corollary}
\label{signat}
 Сигнатура полиориентированного квазиторического многообразия $M^{2n}$
 вычисляется по формуле
 $$
   \sign(M^{2n})=\sum_{p\in P^n}(-1)^{\ind_\nu(p)}\sigma(p),
 $$
 где сумма берется по всем вершина многогранника $P^n$.
\end{corollary}

Будучи инвариантом класса ориентированных кобордизмов, сигнатура
квазиторического многообразия $M^{2n}$ не зависит от стабильно комплексной
структуры (т.е. от выбора знаков векторов гиперграней) и
определяется лишь ориентацией $M^{2n}$ (или $P^n$). Это можно увидеть
непосредственно из наших конструкций. Действительно, мы выбирали знаки
векторов ребер в каждой вершине как описано в лемме~\ref{lm}.  Тогда
следствие~\ref{signat} утверждает, что сигнатура может быть вычислена как
сумма по всем вершинам величин $(-1)^{\ind_\nu(p)}\sigma(p)$, где
$\ind_\nu(p)$~--- число отрицательных скалярных произведений
$\<\mu_{i_k},\nu\>$, а $\sigma(p)=\det(\mu_{i_1},\ldots,\mu_{i_n})$ равно 1,
если ориентация $T_pM^{2n}$, определяемая стандартным представлением $T^n$,
совпадает с ориентацией, определяемой представлением с весами
$\mu_{i_1},\ldots,\mu_{i_n}$, и равно $-1$ иначе. Вместо этого мы можем
выбрать знаки векторов ребер таким образом, что {\it все} скалярные
произведения с $\nu$ положительны. Тогда мы, очевидно, имеем
$$
  (-1)^{\ind_\nu(p)}\sigma(p)=
  \det(\tilde\mu_{i_1},\ldots,\tilde\mu_{i_n}),
$$
где $\tilde\mu_{i_k}=\pm\mu_{i_k}$ и $\<\tilde\mu_{i_k},\nu\>>0$,
$k=1,\ldots,n$. Заметим, что правая часть предыдущего равенства не зависит от
выбора знаков векторов гиперграней (т.е. от стабильно комплексной структуры).
Итак, мы приходим к следующему
\begin{corollary}
\label{signor}
  Сигнатура ориентированного квазиторического многообразия $M^{2n}$ может
  быть вычислена как
  $$
  \sign(M^{2n})=\sum_{p\in P^n}\det(\tilde\mu_{i_1},\ldots,\tilde\mu_{i_n}),
  $$
  где $\{\tilde\mu_{i_k}\}$~--- векторы ребер, сходящихся в $p$, знаки
  которых выбраны так что $\<\tilde\mu_{i_k},\nu\>>0$, $k=1,\ldots,n$.
\end{corollary}

В случае неособого торического многообразия $M_P$ мы имеем $\sigma(p)=1$ для
всех вершин $p\in P^n$, и следствие~(\ref{signat}) дает нам
\begin{equation}
\label{toricsign}
  \sign(M_P)=\sum_{p\in P^n}(-1)^{\ind_\nu(p)}.
\end{equation}
Скалярное произведение с вектором $\nu$ можно рассматривать как аналог
морсовской функции высоты на многограннике $P^n\subset R^n$, определяемом
формулой~(\ref{ptope}) (см.~\cite{Br}, \cite{Kh} и~\cite{DJ}). Так как
вектор $\nu$ не ортогонален никакому ребру $P^n$, мы можем ориентировать
ребра $P^n$ таким образом, что скалярное произведение с $\nu$ возрастает
вдоль ребра. Тогда индекс вершины $p$ есть просто число входящих ребер (т.е.
ребер, направленных к $p$). Простое комбинаторное
рассуждение~\cite[с.~180]{Br} показывает, что число вершин, у которых число
входящих ребер есть в точности $k$, равно $h_k$, где
$(h_0,h_1,\ldots,h_n)$~--- так называемый {\it $h$-вектор} многогранника
$P^n$, определяемый из уравнения
$$
  h_0t^n+\ldots+h_{n-1}t+h_n=(t-1)^n+f_0(t-1)^{n-1}+\ldots+f_{n-1},
$$
где $f_k$~--- число граней $P^n$ коразмерности $(k+1)$. Как хорошо
известно~\cite{Fu}, число $h_k$ равно $2k$-му числу Бетти торического
многообразия $M_P$ (это также верно для общих квазиторических
многообразий~\cite{DJ}, но здесь нам этот факт не потребуется). Далее,
используя формулу~(\ref{toricsign}), мы получаем, что сигнатура неособого
торического многообразия $M_P$ есть
$$
  \sign(M_P)=\sum_{k=0}^n(-1)^kh_k.
$$
Эту формулу можно также получить из структуры Ходжа в когомологиях $M_P$.
Однако наши рассуждения показывают, что этот результат имеет чисто
топологическую природу.

\medskip

Следующий важный частный случай $\chi_y$-рода~--- это род Тодда,
соответствующий значению $y=0$. В этом случае слагаемые в формуле из
теоремы~\ref{chi}, соответствующие вершинам, имеющим индекс 0, не определены,
поэтому здесь необходим дополнительный анализ.

\begin{theorem}
\label{todd}
  Род Тодда полиориентированного квазиторического многообразия вычисляется по
  формуле
  $$
    \td(M^{2n})=\mathop{\sum_{p\in P^n}}\limits_{\ind_\nu(p)=0}\sigma(p)
  $$
  (сумма берется по всем вершинам индекса 0) для любого примитивного вектора
  $\nu$, такого что $\<\mu_i,\nu\>\ne0$ для всех $\mu_i$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Для любой вершины $p=F_{i_1}\cap\cdots\cap F_{i_n}$ многогранника $P^n$
стабильно комплексная структура на $M^{2n}$, определяемая характеристической
парой $(P^n,\Lambda)$, задает комплексную структуру в касательном
пространстве $T_pM^{2n}$ при помощи изоморфизма
\begin{equation}
\label{ts}
  T_pM^{2n}\simeq\sigma_{i_1}\oplus\cdots\oplus\sigma_{i_n}
\end{equation}
(см. теорему~\ref{stcomst}). Действие $S^1$ на $M^{2n}$, определяемое
вектором $\nu\in\Z^n$, индуцирует комплексное представление окружности в
$T_pM^{2n}$ с весами
$w_1(p)=\<\mu_{i_1},\nu\>,\ldots,w_n(p)=\<\mu_{i_n},\nu\>$ (знаки векторов
ребер определяются леммой~\ref{lm}). Обобщенная формула Лефшеца, полученная
Атьей и Боттом в~\cite{AB} (см. также~\cite{HBY}), дает следующее выражение
для {\it эквивариантного $\chi_y$-рода} многообразия $M^{2n}$:
\begin{equation}
\label{chieq}
  \chi_y(q,M^{2n})=\sum_{p\in P^n}\prod_{i=1}^k
  \frac{1+yq^{w_k(p)}}{1-q^{w_k(p)}}\sigma(p),
\end{equation}
где $q=e^{2\pi i\varphi}\in S^1$, а
$\sigma(p)=\det(\mu_{i_1},\ldots,\mu_{i_n})=\pm1$ в зависимости от того,
совпадает или нет ориентация $T_pM^{2n}$, определяемая~(\ref{ts}), с
ориентацией, определяемой исходной ориентацией $M^{2n}$. Заметим, что знак
$\sigma(p)$ равен 1 для всех вершин, если $M^{2n}$ является комплексным
многообразием (например, гладким торическим многообразием). Теорема Атьи и
Хирцебруха~\cite{AH} утверждает, что предыдущее выражение для
$\chi_y(q,M^{2n})$ не зависит от $q$ и равно $\chi_y(M^{2n})$. Тогда переходя
к пределу в правой части~(\ref{chieq}) при $q\to0$, мы получаем формулу Атьи
и Хирцебруха~(\ref{AH}) для $y\ne0$ (так как $\lim_{q\to0}$ от каждого
слагаемого в~(\ref{chieq}) есть в точности $(-y)^{\ind(p)}\sigma(p)$). В
случае $y=0$ (род Тодда) тот же самый предел для слагаемого, соответствующего
вершине $p$, равен 0, если найдется хотя бы один $w_k(p)<0$ и равен 1 иначе.
Это есть в точности то, что утверждается в теореме.
\end{proof}

Что же касается рода Тодда для неособых торических многообразий, легко
видеть, что в этом случае имеется лишь одна вершина индекса 0.
Действительно, если ориентировать ребра многогранника при помощи скалярного
произведения с $\nu$ (см. обсуждения, связанные с сигнатурой торического
многообразия), то лишь одна ``самая нижняя" вершина будет иметь все исходящие
ребра, т.е. индекс 0. Так как мы имеем $\sigma(p)=1$ для всех вершин $p\in
P^n$, теорема~\ref{todd} дает $\td(M_P)=1$, что хорошо известно (см.,
например,~\cite{Fu}).

\medskip

В заключение мы рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих наши
результаты. Все наши примеры соответствуют полиориентированным четырехмерным
квазиторическим многообразиям. Таким образом, все векторы гиперграней
определены однозначно, а знаки векторов ребер определены ``локально" вблизи
каждой вершины в соответствии с леммой~\ref{lm}. На рисунках мы изображаем
многогранник (в данном случае многоугольник), векторы гиперграней и ребер, а
также ориентацию многогранника (которая в данном случае задается направлением
обхода вершин).

\begin{figure}
\begin{center}
\begin{picture}(100,60)
  \put(20,10){\line(0,1){45}}
  \put(20,10){\line(1,0){45}}
  \put(20,55){\line(1,-1){45}}
  \put(33,23){\oval(13,13)[b]}
  \put(33,23){\oval(13,13)[tr]}
  \put(34,29.5){\vector(-1,0){2}}
  \put(16,6){{\large $p_1$}}
  \put(22,6){\small $(1,0)$}
  \put(54,6){\small $(-1,0)$}
  \put(67,6){{\large $p_2$}}
  \put(33,0){{\large $\lambda_3=(0,1)$}}
  \put(12,13){\small $(0,1)$}
  \put(0,30){{\large $\lambda_2=(1,0)$}}
  \put(9,50){\small $(0,-1)$}
  \put(16,57){{\large $p_3$}}
  \put(25,52){\small $(1,-1)$}
  \put(62,15){\small $(-1,1)$}
  \put(47,32){{\large $\lambda_1=(-1,-1)$}}
\end{picture}%
\caption{$\tau(\C P^2)\oplus\C\simeq\bar\eta\oplus\bar\eta\oplus\bar\eta$}
\label{fig1}
\end{center}
\end{figure}

Рис. 1 соответствует $\C P^2$, рассматриваемому как торическое многообразие.
Таким образом, стабильно комплексная структура определяется стандартной
комплексной структурой на $\C P^2$, т.е. изоморфизмом расслоений $\tau(\C
P^2)\oplus\C\simeq\bar\eta\oplus\bar\eta\oplus\bar\eta$, где $\C$~---
тривиальное одномерное комплексное расслоение, а $\eta$~--- хопфовское
расслоение над $\C P^2$. Ориентация происходит из комплексной структуры. Как
уже обсуждалось выше, торическое многообразие $\C P^2$ может быть получено из
целочисленного многогранника (двумерного симплекса с вершинами $(0,0)$,
$(1,0)$ и $(0,1)$). Векторы гиперграней в этом случае суть примитивные
нормальные векторы к гиперграням, направленные внутрь многогранника, а
векторы ребер~--- примитивные векторы вдоль ребер, исходящие из вершины. Это
и изображено на рис.~1. Вычислим род Тодда и сигнатуру при помощи
следствия~\ref{signat} и теоремы~\ref{todd}. Мы имеем
$\sigma(p_1)=\sigma(p_2)=\sigma(p_3)=1$. Возьмем $\nu=(1,2)$. Тогда
$\ind(p_1)=0$, $\ind(p_2)=1$, $\ind(p_3)=2$ (индекс есть число отрицательных
скалярных произведений векторов ребер с~$\nu$). Таким образом,
\begin{align*}
  \sign(\C P^2)&=\sign(\C P^2,\bar\eta\oplus\bar\eta\oplus\bar\eta)=1;\\
  \td(\C P^2)&=\td(\C P^2,\bar\eta\oplus\bar\eta\oplus\bar\eta)=1.
\end{align*}

\begin{figure}
\begin{center}
\begin{picture}(100,60)
  \put(20,10){\line(0,1){45}}
  \put(20,10){\line(1,0){45}}
  \put(20,55){\line(1,-1){45}}
  \put(33,23){\oval(13,13)[b]}
  \put(33,23){\oval(13,13)[tr]}
  \put(34,29.5){\vector(-1,0){2}}
  \put(16,6){{\large $p_1$}}
  \put(22,6){\small $(-1,0)$}
  \put(54,6){\small $(1,0)$}
  \put(67,6){{\large $p_2$}}
  \put(33,0){{\large $\lambda_3=(0,1)$}}
  \put(12,13){\small $(0,1)$}
  \put(0,30){{\large $\lambda_2{=}({-}1,0)$}}
  \put(9,50){\small $(0,-1)$}
  \put(16,57){{\large $p_3$}}
  \put(25,52){\small $(-1,-1)$}
  \put(62,15){\small $(1,1)$}
  \put(47,32){{\large $\lambda_1=(1,-1)$}}
\end{picture}%
\caption{$\tau(\bcp)\oplus\C\simeq\bar\eta\oplus\bar\eta\oplus\bar\eta$}
\end{center}
\end{figure}

Если в конфигурации рис.~1 изменить ориентацию
многоугольника, то знаки вершин сменятся на противоположные:
$\sigma(p_1)=\sigma(p_2)=\sigma(p_3)=-1$, а индексы вершин не изменятся.
Это соответствует изменению канонической ориентации $\C P^2$ на
противоположную. Обозначая получаемое многообразие $\bcp$, мы получаем
\begin{align}
\label{st2}
  \sign(\bcp)&=\sign(\bcp,\bar\eta\oplus\bar\eta\oplus\bar\eta)=-1;\\
  \td(\bcp)&=\td(\bcp,\bar\eta\oplus\bar\eta\oplus\bar\eta)=-1.\notag
\end{align}
Ту же самую стабильно комплексную структуру можно получить, оставляя
ориентацию многогранника неизменной, но изменяя векторы гиперграней как
показано на рис.~2. Здесь мы имеем
$$
  \sigma(p_1)=\begin{vmatrix} -1&0\\0&1 \end{vmatrix}=-1,\quad
  \sigma(p_2)=\begin{vmatrix} 1&1\\1&0 \end{vmatrix}=-1,\quad
  \sigma(p_3)=\begin{vmatrix} 0&-1\\-1&-1 \end{vmatrix}=-1.
$$
Снова можем положить $\nu=(1,2)$, тогда $\ind(p_1)=1$, $\ind(p_2)=0$,
$\ind(p_3)=2$, откуда вытекают формулы~(\ref{st2}).

\begin{figure}
\begin{center}
\begin{picture}(100,60)
  \put(20,10){\line(0,1){45}}
  \put(20,10){\line(1,0){45}}
  \put(20,55){\line(1,-1){45}}
  \put(33,23){\oval(13,13)[b]}
  \put(33,23){\oval(13,13)[tr]}
  \put(34,29.5){\vector(-1,0){2}}
  \put(16,6){{\large $p_1$}}
  \put(22,6){\small $(1,0)$}
  \put(54,6){\small $(1,0)$}
  \put(67,6){{\large $p_2$}}
  \put(33,0){{\large $\lambda_3=(0,1)$}}
  \put(12,13){\small $(0,1)$}
  \put(0,30){{\large $\lambda_2=(1,0)$}}
  \put(10,50){\small $(0,1)$}
  \put(16,57){{\large $p_3$}}
  \put(25,52){\small $(1,-1)$}
  \put(62,15){\small $(-1,1)$}
  \put(47,32){{\large $\lambda_1=(1,1)$}}
\end{picture}%
\caption{$\tau(\C P^2)\oplus\C\simeq\eta\oplus\bar\eta\oplus\bar\eta$}
\label{fig3}
\end{center}
\end{figure}

Наконец, наш третий пример (рис.~3) изображает $\C P^2$ со стандартной
ориентацией и стабильно комплексной структурой, определяемой отождествлением
$\tau(\C P^2)\oplus\C\simeq\eta\oplus\bar\eta\oplus\bar\eta$ (это
соответствует смене знака первого вектора гиперграни на рис.~1).  Здесь мы
имеем
$$
  \sigma(p_1)=\begin{vmatrix} 1&0\\0&1 \end{vmatrix}=1,\quad
  \sigma(p_2)=\begin{vmatrix} -1&1\\1&0 \end{vmatrix}=-1,\quad
  \sigma(p_3)=\begin{vmatrix} 0&1\\1&-1 \end{vmatrix}=-1.
$$
Полагая $\nu=(1,2)$, находим $\ind(p_1)=0$, $\ind(p_2)=0$, $\ind(p_3)=1$.
Таким образом,
\begin{align*}
  \sign(\C P^2,\eta\oplus\bar\eta\oplus\bar\eta)&=1;\\
  \td(\C P^2,\eta\oplus\bar\eta\oplus\bar\eta)&=0.
\end{align*}
Заметим, что в этом случае формула~(\ref{cn}) дает
$$
  c_n(\C P^2,\eta\oplus\bar\eta\oplus\bar\eta)[\C P^2]=
  \sigma(p_1)+\sigma(p_2)+\sigma(p_3)=-1
$$
(это можно также проверить непосредственно), что не совпадает с эйлеровой
характеристикой $\C P^2$, равной $c_n(\C
P^2,\bar\eta\oplus\bar\eta\oplus\bar\eta)[\C P^2]=3$.

\begin{thebibliography}{30}

\bibitem{AB}
M.\,F.~Atiyah and R.~Bott,
{\it A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes:~I,}
Ann. of Math. {\bf 86} (1967), no.~2, 374--407.

\bibitem{AH}
M.\,F.~Atiyah and F.~Hirzebruch,
{\it Spin-manifolds and group actions,}
Essays in Topology and Related Topics, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New
York, 1970, pp.~18--28.

\bibitem{Ba}
V.\,V. Batyrev,
{\it Quantum Cohomology Rings of Toric Manifolds},
Journ\'ees de G\'eometrie Alg\'ebrique d'Orsay (Juillet 1992),
Ast\'erisque {\bf 218}, Soci\'ete Math\'ematique de France, Paris, 1993,
pp.~9--34;
доступно в Интернет http://xxx.lanl.gov/abs/alg-geom/9310004.

\bibitem{BB}
A.~Bahri and M.~Bendersky,
{\it The $KO$-theory of toric manifolds}, preprint, 1999;
доступно в Интернет http://xxx.lanl.gov/abs/math.AT/9904087.

\bibitem{Br}
А. Бренстед,
{\it Введение в теорию выпуклых многогранников,}
Москва, Мир, 1988.

\bibitem{BP1}
В.\,М.~Бухштабер, Т.\,Е.~Панов,
{\it Алгебраическая топология многообразий, определяемых
простыми многогранниками,}
Успехи мат. наук {\bf 53} (1998), \номер3, 195--196.

\bibitem{BP2}
В.\,М.~Бухштабер, Т.\,Е.~Панов,
{\it Действия тора и комбинаторика многогранников,}
Труды МИРАН им.~Стеклова {\bf 225} (1999), 96--131;
доступно в Интернет http://xxx.lanl.gov/abs/math.AT/9909166.

\bibitem{BR1}
В.\,М.~Бухштабер, Н.~Рэй,
{\it Торические многообразия и комплексные кобордизмы},
Успехи матем. наук {\bf 53} (1998), \номер2, 139--140.

\bibitem{BR2}
V.\,M.~Buchstaber and N.~Ray,
{\it Tangential structures on toric manifolds, and connected sums of
polytopes}, preprint UMIST, Manchester, 2000.

\bibitem{Da}
В.\,И.~Данилов,
{\it Геометрия торических многообразий,}
Успехи матем. наук {\bf 33} (1978), \номер2, 85--134.

\bibitem{DJ}
M.~Davis and T.~Januszkiewicz,
{\it Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions},
Duke Math. Journal {\bf 62}, (1991), no.~2, 417--451.

\bibitem{Do}
Н.~Добринская,
{\it Проблема классификации квазиторических многообразий над заданным простым
многогранником}, принято к печати в Функц. анал. и прил.

\bibitem{Fu}
W.~Fulton,
{\it Introduction to Toric Varieties,}
Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1993.

\bibitem{HBY}
F.~Hirzebruch, T.~Berger and R.~Jung.
{\it Manifolds and Modular Forms,} Second Edition, A Publication of the
Max-Planc-Institut f\"ur Mathematik, Bonn, 1994.

\bibitem{Kh}
А.\,Г.~Хованский,
{\it Гиперплоские сечения многогранников,}
Функц. анал. и прил. {\bf 20}, (1986), \номер1.

\bibitem{Kr}
И.\,М.~Кричевер,
{\it Формальные группы и формула Атьи--Хирцебруха,}
Изв. АН СССР. Сер. матем. {\bf 38}, (1974), \номер6, 1289--1304.

\bibitem{Pa}
Т.\,Е.~Панов.
{\it Комбинаторные формулы для $\chi_y$-рода
полиориентированного квазиторического многообразия},
Успехи мат. наук~54 (1999), \номер5, 169--170.


\end{thebibliography}

\end{document}


