\documentclass[11pt,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amssymb,amscd,amsthm}
\frenchspacing
\emergencystretch=5pt
\voffset=-9mm
\tolerance=400
\unitlength=1mm

\newtheorem{formula}{}[section]
\newtheorem{proposition}[formula]{�।�������}
\newtheorem{corollary}[formula]{�����⢨�}
\newtheorem{lemma}[formula]{�����}
\newtheorem{theorem}[formula]{���६�}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[formula]{��।������}
\newtheorem{example}[formula]{�ਬ��}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{����砭��}

\newcommand{\D}{\Delta}
\renewcommand{\l}{\lambda}
\newcommand{\f}{\varphi}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\renewcommand{\k}{\mathbf k}

\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\renewcommand{\proofname}{������⥫��⢮}

\newcommand{\bideg}{\mathop{\rm bideg}}
\newcommand{\Tor}{\mathop{\rm Tor}\nolimits}
\newcommand{\tbtk}{\widetilde{B_TK}}
\newcommand{\zk}{\mathcal Z_K}

\newcommand{\ep}{\nolinebreak\hfill$\square$}

\begin{document}

\title[���䨣��樨 ���न����� �������࠭��]
{����⢨� ��, ������ਠ��� ������-㣮�-��������� �
���䨣��樨 ���न����� �������࠭��}
\author{�.\,�. ����⠡��, �.\,�. �����}
\thanks{����� �����ঠ�� ����, �࠭� \�����~99-01-00090, � INTAS,
�࠭� \�����~96-0770.}
\subjclass{55N91, 05B35 (Primary) 13D03 (Secondary)}
\address{��堭���-��⥬���᪨� 䠪���� ���, ��᪢� 119899, �����}
\email{tpanov@mech.math.msu.su \quad buchstab@mech.math.msu.su}

\begin{abstract}
�� �����뢠��, �� ������ �����������
���������� ���䨣��樨 ���न����� �������࠭�� �
$m$-��୮� �������᭮� ����࠭�⢥ ������䭠 ������
����������� ����� ������--���᭥� (����� �࠭��) �����ண�
ᯥ樠�쭮�� ᨬ���樠�쭮�� �������� �� ������⢥ �� $m$ ���設
(����� �࠭�� ��ᬠ�ਢ����� ���
����� ��� ����殬 �����童��� �� $m$ ��६�����). ����� �� ����塞 ���
������� ����������� �� ����� �⠭���⭮� १��좥��� ����� ��� �����
�����童���. ��� ������⥫��⢠ ��� 䠪⮢ �� ��ந� ������ਠ����
�⭮�⥫쭮 ����⢨� �� ����⮯����� ���������⭮��� �����
����������� ���䨣��樨 ���न����� �������࠭�� �
������-㣮�-�������ᮬ, ��।��塞� ᨬ���樠��� �������ᮬ.
������-㣮�-��������~--- �� �����஥ ���������⢮ �����筮�� ����-��᪠
� $m$-��୮�
�������᭮� ����࠭�⢥, ����ਠ�⭮� �⭮�⥫쭮 ����⢨� $m$-��୮�� ��. ���
�������� ���� ������� �������ࠧ��� �� �᫮���, �� ᨬ���樠���
�������� ���� ᨬ���樠�쭮� ��ன, �� � ��饬 ��砥 �����
����� ᫮���� ��������. ��⥬ �� ��᫥�㥬 ������ਠ���� ⮯������
������-㣮�-�������� � �ਬ��塞 ᯥ��ࠫ��� ��᫥����⥫쭮���
�������࣠--���. ����� ���ᠭ� �᫮��� �� ������ ��� १����� ���室��
� ������� १����� � ���᪨� � ᨬ������᪨� �������ࠧ���.
\end{abstract}

\maketitle

\section{��������}

� ������ ࠡ�� �� �ਬ��塞 १����� ��襩 �।��饩 ����~\cite{BP2}
��� ���ᠭ�� ⮯������ ���������� ���䨣��権 ���������� ���न�����
�������࠭��. ���䨣���� ���न����� �������࠭�� $\mathcal A$
(��� ���� ���न��⭠� ���䨣����)~--- �� �����஥ ������⢮
���न����� �������࠭�� $L$ �������᭮�� ����࠭�⢠ $\C^m$, � ��
����������~--- �� ������⢮ $U(\mathcal
A)=\C^m\setminus\bigcup_{L\in\mathcal A}L$. ���������� $U(\mathcal A)$ �ᥣ��
�।�⠢����� � ���� $U(\mathcal A)=U(\mathcal A')\times(\C^{*})^k$, ���
$\mathcal A'$~--- ���न��⭠� ���䨣���� � $\C^{m-k}$, �� ᮤ�ঠ��
����௫�᪮�⥩. ������� �������-�������筮� ᮮ⢥��⢨� �����
���䨣���ﬨ ���न����� �������࠭�� � $\C^m$ ��� ����௫�᪮�⥩ �
ᨬ���樠��묨 �������ᠬ� �� $m$ ���設�� $v_1,\ldots,v_m$: ������
���䨣���� $\mathcal A$ ��।���� ᨬ���樠��� ��������
$K(\mathcal A)$ � �������. � ������, ����� $|\mathcal A|$ ������砥�
���⥫� $\bigcup_{L\in\mathcal A}L$ ���न��⭮� ���䨣��樨 $\mathcal A$;
⮣�� ���������⢮ $v_I=\{v_{i_1},\ldots,v_{i_k}\}$ ����
$(k-1)$-ᨬ����ᮬ �������� $K(\mathcal A)$ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, �����
$(m-k)$-��୮� ���न��⭮� �������࠭�⢮
$L_I\subset\C^m$, ���������� �ࠢ����ﬨ $z_{i_1}=\ldots=z_{i_k}=0$, ��
�ਭ������� $|\mathcal A|$. ���䨣���� $\mathcal A$ �祢���� ��ࠧ��
����⠭���������� �� �� ᨬ���樠�쭮�� ��������
$K(\mathcal A)$; ���⮬� � ��襩 ࠡ�� �� �ᯮ��㥬 ������祭��
$U(K)$ ����� $U\bigl(\mathcal A(K)\bigr)$
(����� ���஡��� ���ଠ�� � �裡 ���न����� ���䨣��権 �
ᨬ���樠���� �������ᮢ �ਢ������ � ��砫� ࠧ����~2).

���䨣��樨 �������࠭�� � �� ���������� ����� ���祢�� ஫� �� ������
���������� ��������ਪ�, �����ࠨ�᪮� � ᨬ������᪮� ������ਨ,
��堭��� � �.�.; ��� ⠪�� ��������� ��� ���䨣��樮��� ����࠭�⢠
ࠧ����� ������᪨� ��⥬. �~�裡 � �⨬ ⮯������ ����������
���䨣��権 �ਢ������ ������ ��⥬�⨪�� �� ���殮��� ��᫥���� ����
����⨫�⨩. ���� ����� १����� ����� �易�� �
���䨣���ﬨ ����௫�᪮�⥩ (�� ��易⥫쭮 ���न�����) � $\C^m$.
�୮�줮�~\cite{Ar} � ��᪮୮�~\cite{Br} �뫮 ��������, �� ������
����������� ᮮ⢥�����饣� ���������� $U(\mathcal A)$ ������䭠 ������
����७樠���� ��, ��஦������ �������묨 �ଠ��
$\frac1{2\pi i}\frac{dF_A}{F_A}$, ��� $F_{A}$~--- �������� �ଠ, �������
����௫�᪮��� $A$, �ਭ��������� ���䨣��樨. �૨� � �������~\cite{OS}
��������, �� ������ ����������� ���������� ���䨣��樨 ����௫�᪮�⥩
������ ⮫쪮 �� ��������ਪ� ����祭�� ����௫�᪮�⥩ � �।�⠢���
$H^{*}\bigl(U(\mathcal A)\bigr)$ � ���� ��ࠧ���� � ᮮ⭮襭��.
�~��饩 ���樨 ������� ⥮६� ���᪨--�����ᮭ�~\cite[�����~III]{GM},
��ࠦ���� ��㯯� ����������� $H^{i}\bigl(U(\mathcal A)\bigr)$ (���
����楢�� ��������) ��� �㬬� ��㯯 ��������� ����������ᮢ �����ண�
ᨬ���樠�쭮�� ��������. ��� ��������, ���뢠��� {\it ���浪���} (���
{\it 䫠����}) �������ᮬ, ��।������ � �ନ��� ��������ਪ� ����祭��
�������࠭�� �� $\mathcal A$. ������⥫��⢮ �⮣� १���� �ᯮ����
��⮤� ������஢����� ⥮ਨ ����, ࠧ����
�~\cite{GM}.  ��㣮� ᯮᮡ ���ᠭ�� ������� ����������� ����������
���䨣��樨 �������࠭�� �� ������� �।����� �� ���稭� �
��祧�~\cite{dCP}. ��� ��������, �� �樮���쭮� ����� �����������
���������� $U(\mathcal A)$ ⠪�� ��।������ ��������ਪ�� ����祭��. ��
१����� �뫨 ࠧ���� �����᪨� �~\cite{Yu}.  � ��砥 ���䨣��権
���न����� �������࠭�� ���浪��� �������� ���� ���業���᪨�
���ࠧ�������� �����ண� ᨬ���樠�쭮�� �������� $\tilde K$, � ᫠����� �
��㫥 ���᪨--�����ᮭ� ����� ��㯯��� ��������� ������ ᨬ����ᮢ ��
$\tilde K$. �������� $\tilde K$ ����� � �� ������⢮ ���設
$v_1,\ldots,v_m$, �� � ��� ᨬ���樠��� �������� $K$, � ``�����⢥���"
��᫥����� � ᫥���饬 ��᫥: ������⢮ $v_I=\{v_{i_1},\ldots,v_{i_k}\}$
��஦���� ᨬ����� �������� $\tilde K$ �᫨ � ⮫쪮 �᫨ ����������
$\{v_1,\ldots,v_m\}\setminus v_I$ �� ��஦���� ᨬ����� $K$. ������
㬭������ ����ᮢ ����������� ���������� ���䨣��樨 ���न�����
�������࠭�� �뫠 ���ᠭ� �~\cite{dL} � ����������� �ନ��� �� �����
�������� $\tilde K$ � ���ᠭ��� ��� ������樨 ����
���᪨--�����ᮭ�.

� ��襩 ࠡ�� �� �।���⠥� �ᯮ�짮���� ��� ���ᠭ�� ���न��⭮�
���䨣��樨 ᨬ���樠��� �������� $K$ ����� $\tilde K$, ⠪ ��� ⠪��
���室 ���뢠�� ���� �������裡 ⮯������ ���������� ���䨣��権
�������࠭�� � ������⨢��� �����ன � ������ਥ�
{\it ���᪨� �������ࠧ��}. �� �����뢠��, �� ����������
$U(K)$ ����⮯��᪨ ���������⭮ ⠪ ���뢠�����
{\it ������-㣮�-���������} $\zk$, ��।��塞��� ᨬ���樠��� �������ᮬ
$K$. �������� $\zk$ �।�⠢��� ᮡ�� ������⭮� ���������⢮ �����筮��
����-��᪠ $(D^2)^m\subset\C^m$, ����ਠ�⭮� �⭮�⥫쭮 �⠭���⭮��
����⢨� �� $T^m$ �� $(D^2)^m$. � � �� �६�, $\zk$ ����
����⮯��᪨� ᫮�� ����筮�� ��������
$i:\tbtk\hookrightarrow BT^m$, ��� $BT^m$~--- ����������饥 ����࠭�⢮
��� �� $T^m$ � �⠭���⭮� ����筮� ������ன, � $\tbtk$~--- ������
�����������, ����������� ���ண� ��������
{\it ������ ������--���᭥�} (⠪�� �����⭮�� ��� {\it ����� �࠭��})
$\k(K)$ ᨬ���樠�쭮�� �������� $K$. ��⥬ �� ����塞 ������� �����������
$\zk$ (��� $U(K)$) �� ����� ᯥ��ࠫ쭮� ��᫥����⥫쭮��
�������࣠--���. � ����⢥ १���� �� ����砥� �����ࠨ�᪮� ���ᠭ��
������� ����������� $U(K)$ ��� ���ࠤ�஢����� ������� �����������
$\Tor_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)$ ����� �࠭�� $\k(K)$. ��
����� �⠭���⭮� १��좥��� ����� ��᫥���� ������ �����
���� ��ࠦ��� ��� ������ ����������� ����७樠�쭮� ���ࠤ�஢�����
������� $\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m]$, ���
$\Lambda[u_1,\ldots,u_m]$~--- ������ ������, � ����७樠� �⮡ࠦ���
������ ��ࠧ����� $u_i$ � $v_i\in\k(K)=\k[v_1,\ldots,v_m]/I$. ��樮�����
������ �� ���稭� � ��祧�~\cite{dCP} � �����᪮��~\cite{Yu} ����� ⠪��
������஢��� ��� �ਫ������ १��좥��� ����� � ����������� ����������
���䨣��権 �������࠭��, ������ ஫� ����� �࠭�� �⠫� �᭠ ���� ��᫥
��襩 ࠡ���~\cite{BP2}.

� ��砥, ����� $K$ ���� $(n-1)$-��୮� ᨬ���樠�쭮� ��ன
(���ਬ��, �᫨ $K$ ���� �࠭��� �������ᮬ
$n$-��୮�� ��㪫��� ᨬ���樠�쭮�� ������࠭����), ���
������-㣮�-�������� $\zk$ ����뢠���� �������
$(m+n)$-���� �������ࠧ��� (⠪�� ��ࠧ��, $U(K)$ ����� ����⮯��᪨� ⨯
�������� �������ࠧ��). ��� ����� ���� ��砩 ���� �������権 ��
���஡�� ���祭 � ࠡ���~\cite{BP1}, \cite{BP2}. ���������᪨� ᢮��⢠
⠪�� �������ࠧ�� $\zk$ �।�⠢���� ����让 ����� ��������� ��
��������� � ��������ਪ�� ������࠭�����, ᨬ������᪮� ������ਥ� �
������ਥ� ���᪨� �������ࠧ��; ��᫥���� ������ �� ��ࠢ��� �窮� �
��襬 ���祭�� ���䨣��権 ���न����� �������࠭��. ������᪮�
��।������ ���᪨� �������ࠧ�� (�.~\cite{Da}, \cite{Fu}) �᭮���� ��
��������୮� ����⨨ {\it ����}. ������, ��� ������� �뫮 ��������
��᪮�쪨�� ���ࠬ� (�., ���ਬ��,~\cite{Au}, \cite{Ba}, \cite{Co}), �
��砥 ����� ����, ��।����騩 ���᪮� �������ࠧ��
$M$ ���� ᨬ���樠���, $M$ ����� ⠪�� ��।����� ��� ��������᪨�
䠪�� ���������� $U(K)$ �⭮�⥫쭮 �����ண� ����⢨� �����ࠨ�᪮��
�� $(\C^{*})^{m-n}$ (����� $K$~--- ᨬ���樠��� ��������, ��।��塞�
���஬). ��� ������-㣮�-�������ࠧ�� $\zk$ �।�⠢��� ᮡ�� �ம�ࠧ
ॣ��୮� �窨 � ��ࠧ� �⮡ࠦ���� �����⮢ $U(K)\to\R^{m-n}$ ���
������⮭��� ����⢨� ������⭮�� �� $T^{m-n}\subset(\C^{*})^{m-n}$.

� ࠡ��~\cite{DJ} ����ᮬ � ���誥��祬 �뫮 ������� ����⨥
��������᪮�� �������ࠧ�� (⠪�� �����⭮�� ��� 㭨�୮�
���᪮� �������ࠧ��), ���஥ ����� ��ᬠ�ਢ��� ��� ����⢥����
⮯������᪮� ����饭�� ������ �������� ���᪮�� �������ࠧ��.
�������祪�� �������ࠧ�� $M^{2n}$ ����᪠�� ������� ����⢨� ��
$T^n$, ���஥ �����쭮 �룫廊� ��� �⠭���⭮� ����⢨�
$T^n$ �� $\C^n$; �� �⮬ �ॡ����, �⮡� ����࠭�⢮ �ࡨ� 﫮��
$n$-���� �஬, ᭠������ ��������୮� ������ன ���⮣� ��㪫���
������࠭���� �� ����� ������� ����������� �祪 ᮮ⢥������� ����஢.
��������᪨� �������ࠧ�� �������� �����⥫�묨 ⮯������᪨��,
��������᪨�� � ���������묨 ᢮��⢠��; ��᫥ ������᪮�
ࠡ���~\cite{DJ} ������᫥��� ���� �������裡 �뫨 �����㦥�� ࠧ���묨
���ࠬ� (�.~\cite{BR1}, \cite{BR2}, \cite{BP1}, \cite{BP2}, \cite{Pa1},
\cite{Pa2}, � �������⥫�� ��뫪� � ��� ࠡ���). ��������, �����⢥��� �
�࠭�筮�� ��������� ���⮣� ������࠭���� � ����࠭�⢥ �ࡨ�
��������᪮�� �������ࠧ��, ���� ᨬ���樠�쭮� ��ன. ���⮬�
������ १����� �����饩 ࠡ��� ����� ��ᬠ�ਢ��� ��� ����饭�� ����
�।���� �������権 � ᨬ���樠��묨 ��ࠬ� �� ��砩 ����
ᨬ���樠���� �������ᮢ. �⬥⨬ ⠪��, �� ������� ��� ��।������ �
�������樨 (���ਬ��, ��������� ��५� $B_TP$) ����� ������ �
ࠡ��~\cite{DJ} � ⮬ ��� ���� ����; � ⠪�� ����� �� ��ࠫ��� ��࠭���
����砫�� ������祭��.

����� ��ࠦ��� �ᮡ�� �������୮��� �������� ��� �� �⨬㫨���騥
���㦤���� � �����⢮୮� ���㤭���⢮, ����� ���孮���� �������
���� � �������樨 �� ��襩 ࠡ���. �� ⠪�� ��������� ��⠫�
���ਭ᪮�, ����� ���⨫� ��� �������� �� ࠡ���~\cite{Ba},
���뢠���� ������� �������裡 ����� ���᪨�� �������ࠧ�ﬨ �
���䨣���ﬨ ���न����� �������࠭��, � ��ࣥ� �����᪮��, �����
㪠��� ��� �� १����� �९ਭ�~\cite{dL}.


\section{����⮯��᪠� ॠ������ ���������� ���䨣��樨
���न����� �������࠭��}

����� $\C^m$~--- �������᭮� $m$-��୮� ����࠭�⢮ � ���न��⠬�
$z_1,\ldots,z_m$. ��� ��� ���������⢠ �����ᮢ
$I=\{i_1,\ldots,i_k\}$ ������稬 �१ $L_I$ $(m-k)$-��୮� ���न��⭮�
�������࠭�⢮, ���������� �ࠢ����ﬨ $z_{i_1}=\ldots=z_{i_k}=0$. ����⨬,
�� $L_{\{1,\ldots,m\}}=\{0\}$ � $L_{\varnothing}=\C^m$.

\begin{definition}
  \sloppy
  {\it ���䨣��樥� ���न����� �������࠭��}
  (��� {\it ���न��⭮� ���䨣��樥�\/}) $\mathcal A$ ���뢠����
  �ந����쭮� ������⢮ ���न����� �������࠭��
  $L_I$. {\it �����������} ���䨣��樨 $\mathcal A$ ���뢠���� ���������⢮
  $$
    U(\mathcal A)=\C^m\setminus\bigcup_{L_I\in\mathcal A}L_I\subset\C^m.
  $$
\end{definition}
� ���쭥�襬 �� �㤥� ࠧ����� ���न����� ���䨣���� $\mathcal A$
��ᬠ�ਢ����� ��� ����ࠪ⭮� ������⢮ �������࠭�� � �� ���⥫�
$|\mathcal A|$~--- ���������⢮ $\bigcup_{L_I\in\mathcal A}L_I\subset\C^m$.
�᫨ $I\subset J$ � $L_I\subset|\mathcal A|$, � $L_J\subset|\mathcal A|$.
�᫨ ���न��⭠� ���䨣���� $\mathcal A$ ᮤ�ন� ����௫�᪮���
$z_i=0$, � �� ���������� $U(\mathcal A)$ �।�⠢����� � ����
$U(\mathcal A_0)\times\C^{*}$, ��� $\mathcal A_0$~--- ���䨣����
���न����� �������࠭�� � ����௫�᪮�� $\{z_i=0\}$ �
$\C^{*}=\C\setminus\{0\}$. ����� ��ࠧ��, ��� �� ���न��⭮� ���䨣��樨
$\mathcal A$ �� ���������� $U(\mathcal A)$ �।�⠢����� � ����
$$
  U(\mathcal A)=U(\mathcal A')\times(\C^{*})^k,
$$
��� $\mathcal A'$~--- ���न��⭠� ���䨣���� � $\C^{m-k}$, �� ᮤ�ঠ��
����௫�᪮�⥩. � ��⮬ �⮣� ����砭�� �� ��࠭�稬�� ��ᬮ�७���
���न����� ���䨣��権, �� ᮤ�ঠ�� ����௫�᪮�⥩.

���䨣���� ���न����� �������࠭�� $\mathcal A$ � $\C^m$ (���
����௫�᪮�⥩) ��।���� ᨬ���樠��� �������� $K(\mathcal A)$ � $m$
���設��� $v_1,\ldots,v_m$ ᫥���騬 ��ࠧ��: ᪠���, �� ���������⢮
$v_I=\{v_{i_1},\ldots,v_{i_k}\}$ ���� $(k-1)$-ᨬ����ᮬ ��������
$K(\mathcal A)$, �᫨ � ⮫쪮 �᫨ $L_I\not\subset|\mathcal A|$.

\begin{example}
  1) ����� $\mathcal A=\varnothing$; ⮣�� $K(\mathcal A)$ �।�⠢��� ᮡ��
  $(m-1)$-���� ᨬ����� $\D^{m-1}$.

  2) ����� $\mathcal A=\{0\}$; ⮣��
  $K(\mathcal A)=\partial\D^{m-1}$~--- �࠭��
  $(m-1)$-ᨬ�����.
\end{example}
� ��㣮� ��஭�, ᨬ���樠��� �������� $K$ �� ������⢥ ���設
$\{v_1,\ldots,v_m\}$ ��।���� ���न����� ���䨣����
$\mathcal A(K)$ ⠪��, �� $L_I\subset|\mathcal A|$ �᫨ � ⮫쪮 �᫨
$v_I=\{v_{i_1},\ldots,v_{i_k}\}$ �� ���� ᨬ����ᮬ $K$. ����⨬, ��
�᫨ $K'\subset K$~--- �����������, � $\mathcal A(K)\subset\mathcal A(K')$.
�⠪, �� ����� �����饥 ���冷� �������-�������筮� ᮮ⢥��⢨� �����
ᨬ���樠��묨 �������ᠬ� �� $m$ ���設�� � ���䨣���ﬨ ���न�����
�������࠭�� � $\C^m$ ��� ����௫�᪮�⥩.

������稬 ⥯��� �१ $U(K)=\C^m\setminus|\mathcal A(K)|$ ����������
���न��⭮� ���䨣��樨 $\mathcal A(K)$.

\begin{example}
\label{uk}
1) ����� $K=\D^{m-1}$ ���� $(m-1)$-simplex; ⮣�� $U(K)=\C^m$.

2) ����� $K=\partial\D^{m-1}$; ⮣�� $U(K)=\C^m\setminus\{0\}$.

3) ����� $K$ �।�⠢��� ᮡ�� ���吝�� ��ꥤ������
$m$ ���設; ⮣�� $U(K)$ ����砥��� 㤠������ �� $\C^m$ ��� ���न�����
�������࠭�� ��ࠧ��୮�� ���, �.�. ����
$z_i=z_j=0$, $i,j=1,\ldots,m$.
\end{example}

����� ⥯��� $\k$~--- �ந����쭮� ����, ���஥ �� �㤥� ���뢠�� �᭮���
�����. ��ࠧ㥬 ����� �����童��� $\k[v_1,\ldots,v_m]$, ��� $v_i$
��ᬠ�ਢ����� ��� ��६����.

\begin{definition}
\label{fr}
  {\it ����殬 �࠭��\/} (��� {\it ����殬 ������--���᭥�\/})
  (������砥��� $\k(K)$) ᨬ���樠�쭮�� �������� $K$
  ���뢠���� 䠪�મ��� $\k[v_1,\ldots,v_m]/I$ ����� �����童���, ���
  $$
    I=\left(v_{i_1}\cdots v_{i_s}:
    \{v_{i_1},\ldots,v_{i_s}\}\; \text{ �� ��஦���� ᨬ����� }K
    \right).
  $$
\end{definition}
����� ��ࠧ��, ����� �࠭�� ���� 䠪�મ��殬 ����� �����童���
�� �����஬� ������, ��஦������� �������� �⥯��� $\ge2$, �� ᮤ�ঠ騬�
�����⮢. �� �ॢ�⨬ $\k(K)$ � �ࠤ�஢����� ����� �������
$\deg v_i=2$, $i=1,\ldots,m$.

\begin{example}
1) ����� $K=\D^{m-1}$; ⮣�� $\k(K)=\k[v_1,\ldots,v_m]$.

2) ����� $K=\partial\D^{m-1}$~--- �࠭��� ��������
$(m-1)$-ᨬ�����; ⮣�� $\k(K)=\k[v_1,\ldots,v_m]/(v_1\cdots v_m)$.
\end{example}

�������� �� $T^m$ ������� �� $\C^m$ ��������쭮; �� �⮬, ⠪ ���
���䨣���� $\mathcal A(K)$ ��⮨� �� ���न����� �������࠭��, ��
����⢨� ⠪�� ��।����� �� $U(K)$. ������稬 �१ $B_TK$ ᮮ⢥��������
��������� ��५�:
\begin{equation}
\label{borel}
  B_TK=ET^m\times_{T^m}U(K),
\end{equation}
��� $ET^m$~�������� ����࠭�⢮ 㭨���ᠫ쭮�� $T^m$-��᫮����
$ET^m\to BT^m$ ��� ����������騬 ����࠭�⢮� $BT^m=(\C P^{\infty})^m$.
����� ��ࠧ��, $B_TK$ ���� �⠫�� ����࠭�⢮� ��᫮����
$B_TK\to BT^m$ � ᫮�� $U(K)$.

����࠭�⢮ $BT^m$ ����� �������᪮� ����筮� ࠧ������
(����� ᮬ����⥫� $\C P^\infty$ ����� �� ����� ���⪥ � ������ �⭮�
ࠧ��୮��). ��� ��� ������⢠ �����ᮢ
$I=\{i_1,\ldots,i_k\}$ ������� ������ �����������
$BT^k_I=BT^k_{i_1,\ldots,i_k}\subset BT^m$, ���������� $BT^k$.

\begin{definition}
\label{tbtk}
  ��� ������� ᨬ���樠�쭮�� �������� $K$ � ������⢮� ���設
  $\{v_1,\ldots,v_m\}$ ������ ������ �����������
  $\widetilde{B_TK}\subset BT^m$, �।�⠢���騩 ᮡ�� ��ꥤ������
  ����������ᮢ $BT^k_I$ �� �ᥬ $I$ ⠪��, �� $v_I$ ���� ᨬ����ᮬ
  $K$.
\end{definition}

\begin{example}
\label{bouquet}
  ����� $K$ �।�⠢��� ᮡ�� ���吝�� ��ꥤ������
  $m$ ���設 $v_1,\ldots,v_m$. ����� $\widetilde{B_TK}$ ���� �㪥�
  $m$ ��������஢ $\C P^{\infty}$.
\end{example}

����� ����������� ����࠭�⢠ $BT^m$ ������䭮 ������ �����童���
$\k[v_1,\ldots,v_m]$ (�� ����������� ��ᬠ�ਢ����� � �����樥�⠬� �
�᭮���� ����~$\k$).

\begin{lemma}
\label{cohomtbtk}
  ����� ����������� �������� $\widetilde{B_TK}$ ������䭮 ������ �࠭��
  $\k(K)$. �������� $i:\widetilde{B_TK}\hookrightarrow BT^m$ ��������
  �஥��� �� 䠪�મ���
  $i^{*}:\k[v_1,\ldots,v_m]\to\k(K)=\k[v_1,\ldots,v_m]/I$ � ������������.
\end{lemma}
\begin{proof}
������⥫��⢮ �஢���� �� ����樨 �� ��� ᨬ����ᮢ $K$. �᫨ $K$
�।�⠢��� ᮡ�� ���吝�� ��ꥤ������ ���設 $v_1,\ldots,v_m$, �
$\tbtk$ ���� �㪥� $m$ ��������஢ $\C P^{\infty}$ (�. �ਬ��~\ref{bouquet}).
� ࠧ��୮�� ���� $H^{*}(\tbtk)$ ���� ���� $\k$, � � ࠧ��୮����
$\ge 1$ �� ����� ������䭮 $\k[v_1]\oplus\cdots\oplus\k[v_m]$.
�������⥫쭮, $H^{*}(\tbtk)=k[v_1,\ldots,v_m]/I$, ��� $I$~--- �����,
��஦����� �ᥬ� �������� �⥯��� $\ge 2$ �� ᮤ�ঠ�� �����⮢, �
$i^{*}$ �।�⠢��� ᮡ�� �஥��� �� 䠪�મ���. �⠪, ����� ��������
� ��砥 $\dim K=0$.

�।������� ⥯���, �� ᨬ���樠��� �������� $K$ ����祭 ��
ᨬ���樠�쭮�� �������� $K'$ ����������� ������ $(k-1)$-��୮�� ᨬ�����
$v_I=\{v_{i_1},\ldots,v_{i_k}\}$. �� �।��������� ����樨, ����� �믮�����
��� �������� $K'$, � ����
$i^{*}H^{*}(BT^m)=H^{*}(\widetilde{B_TK'})=\k(K')=\k[v_1,\ldots,v_m]/I'$.
� ᨫ� ��।������~\ref{tbtk}, �������� $\tbtk$ ���� ��ꥤ������ ��������
$\widetilde{B_TK'}$ � ����������� $BT^k_{i_1,\ldots,i_k}\subset BT^m$. �����
$H^{*}(\widetilde{B_TK'}\cup
BT^k_{i_1,\ldots,i_k})=\k[v_1,\ldots,v_m]/I=\k(K'\cup v_I)$, ��� ����� $I$
��஦��� $I'$ � $v_{i_1}v_{i_2}\cdots v_{i_k}$.
\end{proof}

����� $I^m$~--- �⠭����� $m$-���� �� � $\R^m$:
$$
  I^m=\{(y_1,\ldots,y_m)\in\R^m\,:\;0\le y_i\le 1,\,i=1,\ldots,m\}.
$$
������樠��� �������� $K$ � $m$ ���設��� $v_1,\ldots,v_m$
��।���� �㡨�᪨� �������� $\mathcal C_K$, �������᪨ �������� �
�࠭��� �������� �㡠 $I^m$.

\begin{definition}
\label{cubcom}
  ��� $(k-1)$-��୮�� ᨬ����� $v_J=\{v_{j_1},\ldots,v_{j_k}\}$
  �������� $K$ ������稬 �१ $C_J$ �࠭� ࠧ��୮�� $k$ �㡠
  $I^m$, �뤥�塞�� $m-k$ �ࠢ�����
  $$
    y_i=1,\quad i\notin \{j_1,\ldots,j_k\}.
  $$
  �����, ��।���� �㡨�᪨� �����������
  $\mathcal C_K\subset I^m$ ��� ��ꥤ������ �࠭�� $C_J$ �� �ᥬ ᨬ����ᠬ
  $v_J$ �������� $K$.
\end{definition}

\begin{remark}
  ��� �㡨�᪨� ����������� $\mathcal C_K\subset I^m$ ����
  ��������᪮� ॠ����樥� ����ࠪ⭮�� �㡨�᪮�� �������� � ����� ���
  ���業���᪨� ���ࠧ�������� �������� $K$ (�.~\cite[p.~434]{DJ}).
  ����⢨⥫쭮, ����� $\D^{m-1}$ ���� $(m-1)$-���� ᨬ����� � ������⢮�
  ���設 $\{v_1,\ldots,v_m\}$, � $\hat\D^{m-1}$~--- ���業���᪮�
  ���ࠧ������� $\D^{m-1}$, � ���� ���設� $\hat\D^{m-1}$ ᮮ⢥������
  ᨬ����ᠬ $v_J\subset\D^{m-1}$. ����ந� �⮡ࠦ����
  $\iota:\hat\D^{m-1}\to I^m$ ᫥���騬 ��ࠧ��: �⮡ࠧ�� ���設� $v_J$
  �������� $\hat\D^{m-1}$ � ���設� �㡠 $I^m$ � ���न��⠬� $y_j=0$ ���
  $j\in J$ � $y_j=1$ ��� $j\notin J$, � ��⥬ �த����� �⮡ࠦ���� �������
  �� ������ ᨬ����� �������� $\hat\D^{m-1}$. ��ࠧ�� $\hat\D^{m-1}$ ��
  �⮬ �⮡ࠦ���� ���� ��ꥤ������ �࠭�� �㡠 $I^m$, ᮤ�ঠ�� ���.
  ��⥬ ����ந� �⮡ࠦ���� $C\iota$ �� ����� $C\hat\D^{m-1}$ ���
  $\hat\D^{m-1}$ � $I^m$ ��ࠢ��� ���設� ����� � ���設� $(1,\ldots,1)$
  �㡠 � �த����� ������� �� ᨬ������ �������� $C\hat\D^{m-1}$. ��ࠧ��
  $C\hat\D^{m-1}$ �� �⮡ࠦ���� $C\iota$ ���� ���� �� $I^m$. �����
  ⥯��� $K$~--- ᨬ���樠��� �������� �� ������⢥ ���設
  $\{v_1,\ldots,v_m\}$. ��� ⮫쪮 �� ��䨪�஢��� �㬥��� ���設, ��
  ����� ��ᬠ�ਢ��� $K$ ��� ᨬ���樠��� ����������� � $\D^{m-1}$. �����
  ��� �㡨�᪨� �������� $\mathcal C_K\subset I^m$ ��
  ��।������~\ref{cubcom} ���� ���� ��ࠧ $C\iota(C\hat K)$ ����� ���
  ���業���᪨� ���ࠧ�������� �������� $K$ �� �⮡ࠦ���� $C\iota$.
\end{remark}

\begin{example}
  �� ��. 1 �) � �) ����ࠦ�� �㡨�᪨� �������� $\mathcal C_K$ � �����,
  ����� $K$ ���� ���吝�� ��ꥤ������ 3 ���設 � �࠭��� ��������
  2-ᨬ����� ᮮ⢥��⢥���.
  \begin{figure}
  \begin{picture}(120,45)
  \put(15,5){\line(1,0){25}}
  \put(15,5){\line(0,1){25}}
  \put(40,5){\line(1,1){10}}
  \put(50,15){\line(0,1){25}}
  \put(50,40){\line(-1,0){25}}
  \put(25,40){\line(-1,-1){10}}
  \put(40,5){\circle*{2}}
  \put(40,30){\circle*{2}}
  \put(15,30){\circle*{2}}
  \put(50,40){\circle*{2}}
  \multiput(40,29.3)(0,0.1){16}{\line(1,1){10}}
  \multiput(25,15)(5,0){5}{\line(1,0){3}}
  \multiput(25,15)(0,5){5}{\line(0,1){3}}
  \multiput(25,15)(-5,-5){2}{\line(-1,-1){4}}
  \put(26,16){$0$}
  \put(30,0){�)}
  \put(75,5){\line(1,0){25}}
  \put(75,5){\line(0,1){25}}
  \put(100,5){\line(1,1){10}}
  \put(110,15){\line(0,1){25}}
  \put(110,40){\line(-1,0){25}}
  \put(85,40){\line(-1,-1){10}}
  \put(100,5){\circle*{2}}
  \put(110,15){\circle*{2}}
  \put(100,30){\circle*{2}}
  \put(75,30){\circle*{2}}
  \put(85,40){\circle*{2}}
  \put(75,5){\circle*{2}}
  \put(110,40){\circle*{2}}
  \multiput(100,29.3)(0,0.1){16}{\line(1,1){10}}
  \multiput(75,29.3)(0,0.1){16}{\line(1,1){10}}
  \multiput(100,4.3)(0,0.1){16}{\line(1,1){10}}
  \multiput(85,15)(5,0){5}{\line(1,0){3}}
  \multiput(85,15)(0,5){5}{\line(0,1){3}}
  \multiput(85,15)(-5,-5){2}{\line(-1,-1){4}}
  \multiput(78,5)(4,0){6}{\line(0,1){25}}
  \multiput(78,30)(4,0){6}{\line(1,1){10}}
  \multiput(100,8)(0,4){6}{\line(1,1){10}}
  \put(86,16){$0$}
  \put(90,0){�)}
  \linethickness{1mm}
  \put(15,30){\line(1,0){25}}
  \put(40,5){\line(0,1){25}}
  \put(75,30){\line(1,0){25}}
  \put(75,5){\line(1,0){25}}
  \put(85,40){\line(1,0){25}}
  \put(100,5){\line(0,1){25}}
  \put(75,5){\line(0,1){25}}
  \put(110,15){\line(0,1){25}}
  \end{picture}
  \caption{�㡨�᪨� �������� $\mathcal C_K$.}
  \end{figure}
\end{example}

\begin{remark}
  � ��砥, ����� $K$ ���� �����⢥��� �������ᮬ � �࠭�筮�� ���������
  $n$-��୮�� ���⮣� ������࠭����
  $P^n$, �㡨�᪨� �������� $\mathcal C_K$ ᮢ������ � �㡨�᪨� ࠧ�������
  $P^n$, ���砢訬�� � ࠡ��~\cite{BP2}.
\end{remark}

����࠭�⢮ �ࡨ� ��������쭮�� ����⢨� ��
$T^m$ �� $\C^m$ �।�⠢��� ᮡ�� ������⥫�� �����
$$
  \R^m_+=\{(y_1,\ldots,y_m)\in\R^m\,:\;y_i\ge 0,\,i=1,\ldots,m\}.
$$
�஥��� $\C^m\to\R^m_+$ �� ����࠭�⢮ �ࡨ� �������� ���
$(z_1,\ldots,z_m)\to(|z_1|^2,\ldots,|z_m|^2)$. ����࠭�⢮� �ࡨ�
��࠭�祭�� �⮣� ����⢨� �� �⠭����� ����-���
$$
 (D^2)^m=\{(z_1,\ldots,z_m)\in\C^m:\;\:|z_i|\le 1,\,i=1,\ldots,m\}\subset\C^m,
$$
���� �⠭����� �� $I^m\subset\R^m_+$.

����� $U_{\R}(K)\subset\R^m_+$ ������砥� ����࠭�⢮ �ࡨ�
$U(K)/T^m$. ����⨬, �� �᫨ �� ��ᬠ�ਢ���
$\R^m_+$ ��� ���������⢮ � $\C^m$, � $U_{\R}(K)$ ���� ����
``����⢥���� ����":  $U_{\R}(K)=U(K)\cap\R^m_+$.
\begin{definition}
\label{zk}
  \sloppy
  {\it ������ਠ��� ������-㣮�-��������} $\zk\subset\C^m$, ᮮ⢥�����騩
  ᨬ���樠�쭮�� ��������� $K$ ���� $T^m$-����࠭�⢮, ��।��塞�� ��
  ������⨢��� ����ࠬ��
  $$
    \begin{CD}
      \zk @>>> (D^2)^m\\
      @VVV @VVV\\
      \mathcal C_K @>>> I^m,
    \end{CD}
  $$
  ��� �ࠢ�� ���⨪��쭠� ��५�� ������砥� �஥��� �� ����࠭�⢮
  �ࡨ� ��� ��������쭮�� ����⢨� �� $T^m$, � ������ ���⨪��쭠�
  ��५�� ������砥� �������� �㡨�᪮�� �������� $\mathcal C_K$ � $I^m$.
\end{definition}

\begin{lemma}
\label{zu}
  $\mathcal C_K\subset U_{\R}(K)$ � $\zk\subset U(K)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
��।������~\ref{zk} �����뢠��, �� ��஥ �⢥ত���� ᫥��� �� ��ࢮ��.
��� ������⥫��⢠ ��ࢮ�� �⢥ত���� ����⨬, �� �窠 �᫨
$a=(y_1,\ldots,y_m)\in\mathcal C_K$ ����� ���न����
$y_{i_1}=\ldots=y_{i_k}=0$, � $v_I=\{v_{i_1},\ldots,v_{i_k}\}$ ����
ᨬ����ᮬ $K$, ᫥����⥫쭮, $L_I\not\subset|\mathcal A(K)|$.
\end{proof}

\begin{lemma}
\label{he1}
  ���������� $U(K)$ ������ਠ�⭮ ����⮯��᪨ ���������⭮
  ������-㣮�-���������~$\zk$.
\end{lemma}
\begin{proof}
�� ����ந� ��ࠪ�� $r:U_{\R}(K)\to\mathcal C_K$, ����� ����뢠����
������ਠ�⭮� ��ࠪ樥� $U(K)\to\zk$. ��᫥���� ��ࠪ�� � �㤥� �ॡ㥬��
����⮯��᪮� ���������⭮����.

���ࠪ�� $r:U_{\R}(K)\to\mathcal C_K$ �㤥� ��ந�� ����⨢��, ��稭�� �
�࠭�筮�� �������� $(m-1)$-��୮�� ᨬ����� � ��᫥����⥫쭮 㤠���
ᨬ������ ������⥫쭮� ࠧ��୮��, ���� �� ����稬 $K$. �� ������ 蠣� ��
�㤥� ��ந�� �������� ��ࠪ��, � ��������� ��� ��ࠪ権 �㤥� ������
�ॡ㥬�� ��ࠪ��~$r$. �᫨ $K=\partial\D^{m-1}$ ���� �࠭���
�������ᮬ $(m-1)$-ᨬ�����, �
$U_{\R}(K)=\R^m_+\setminus\{0\}$ � ��ࠪ�� $r$ �������� ��~���.~2.
\begin{figure}
  \begin{picture}(120,45)
  \put(45,5){\circle{2}}
  \put(80,5){\circle*{2}}
  \put(45,40){\circle*{2}}
  \put(80,40){\circle*{2}}
  \put(46,5){\vector(1,0){24}}
  \put(46,5){\line(1,0){34}}
  \put(45.8,5.2){\vector(4,1){24}}
  \put(45.8,5.2){\line(4,1){34}}
  \put(45.5,5.5){\vector(2,1){24}}
  \put(45.5,5.5){\line(2,1){34}}
  \put(45.8,5.8){\vector(4,3){24}}
  \put(45.8,5.8){\line(4,3){34}}
  \put(46,6){\vector(1,1){24}}
  \put(46,6){\line(1,1){34}}
  \put(45,6){\vector(0,1){24}}
  \put(45,6){\line(0,1){34}}
  \put(45.2,5.8){\vector(1,4){6}}
  \put(45.2,5.8){\line(1,4){8.5}}
  \put(45.5,5.5){\vector(1,2){12}}
  \put(45.5,5.5){\line(1,2){17}}
  \put(45.8,5.2){\vector(3,4){18}}
  \put(45.8,5.2){\line(3,4){26}}
  \linethickness{1mm}
  \put(80,5){\line(0,1){35}}
  \put(45,40){\line(1,0){35}}
  \end{picture}
  \caption{���ࠪ�� $r:U_{\R}(K)\to\mathcal C_K$ ���
  $K=\partial\D^{m-1}$.}
\end{figure}
������ �।�������, �� ᨬ���樠��� ��������
$K$ ����祭 㤠������ ������ $(k-1)$-��୮�� ᨬ�����
$v_J=\{v_{j_1},\ldots,v_{j_k}\}$ �� ᨬ���樠�쭮�� ��������~$K'$. ��
�।��������� ����樨, ����� �������� ��� $K'$, � ���� ������� ��ࠪ��
$r':U_{\R}(K')\to\mathcal C_{K'}$ � �ॡ㥬묨 ᢮��⢠��. ���ᬮ�ਬ �࠭�
$C_J\subset I^m$ (�. ��।������~\ref{cubcom}). ��� ��� $v_J$ �� ����
ᨬ����ᮬ $K$, �窠 $a$ � ���न��⠬�
$y_{j_1}=\ldots=y_{j_k}=0$, $y_i=1$, $i\notin\{j_1,\ldots,j_k\}$, ��
�ਭ������� $U(K)$. ���⮬� �� ����� �ਬ����� ��ࠪ�� ����ࠦ�����
��~���.~2 �� �࠭� $C_J$ � ��砫쭮� �窮�~$a$. ������稬 ���
��ࠪ��~$r_J$. ������� ⥯��� $r=r_J\circ r'$. ����� �஢����, ��~$r$
���� � �筮�� �ॡ㥬�� ��ࠪ��.
\end{proof}

\begin{example}
\label{zp}
1) ����� $K=\partial\D^{m-1}$~--- �࠭��� ��������
  $(m-1)$-��୮�� ᨬ�����; ⮣�� $\zk$ ��������䭮
  $(2m-1)$-��୮� ��� $S^{2m-1}$.

2) �᫨ $K$ ���� �������ᮬ, �����⢥��� � �࠭�筮�� ���������
$n$-��୮�� ���⮣� ������࠭���� $P^n$, �
$\zk$ ��������䭮 �������� $(m+n)$-��୮��
�������ࠧ��. �� �������ࠧ��, ������砥��� $\mathcal Z_P$, ���� ������
��ꥪ⮬ ��᫥������� � ࠡ��~\cite{BP2}.
\end{example}

\begin{corollary}
  ��������� ��५� $ET^m\times_{T^m}\zk$
  ����⮯��᪨ ���������⭠ $B_TK$.
\end{corollary}
\begin{proof}
���ࠪ�� $r:U(K)\to\zk$, ����஥���� �� ������⥫��⢥ �����~\ref{he1},
������ਠ�⭠ �⭮�⥫쭮 ����⢨� ��
$T^m$ �� $U(K)$ � $\zk$. ����� ᫥��⢨� ��⥪��� �� ��।������
$B_TK=ET^m\times_{T^m}U(K)$.
\end{proof}

� ���쭥�襬 �� �� �㤥� ࠧ����� ����࠭�⢠ (�������樨 ��५�)
$ET^m\times_{T^m}\zk$ � $B_TK=ET^m\times_{T^m}U(K)$.

\begin{theorem}
\label{he2}
  ����筮� �������� $i:\tbtk\hookrightarrow BT^m$ (�.
  ��।������~{\rm\ref{tbtk}}) � ��᫮���� $p:B_TK\to BT^m$
  (�.~{\rm (\ref{borel})}) ����⮯��᪨ �����������. � ��⭮��,
  $\tbtk$ � $B_TK$ ����� ���� ����⮯��᪨� ⨯.
\end{theorem}
\begin{proof}
����� $\pi:\zk\to\mathcal C_K$ ������砥� �஥��� �� ����࠭�⢮ �ࡨ� ���
����⢨� �� �� ������-㣮� �������� $\zk$ (�. ��।������~\ref{zk}). ���
������� ���������⢠ $I=\{i_1,\ldots,i_k\}\subset\{1,\ldots,m\}$
������稬 �१ $B_I$ ᫥���饥 ���������⢮ ����-��᪠ $(D^2)^m$:
$B_I=B_1\times\cdots\times B_m\subset D^2\times\cdots\times D^2=(D^2)^m$,
��� $B_i$ ���� ��� $D^2$ �᫨ $i\in I$ � $B_i$ ���� �࠭��
$S^1$ ��᪠ $D^2$ �᫨ $i\notin I$. ����� ��ࠧ��, $B_I\cong
(D^2)^k\times T^{m-k}$,  $k=|I|$. ����� ������, �� �᫨
$C_I$ ���� �࠭�� �㡨�᪮�� ��������
$\mathcal C_K$ (�. ��।������~\ref{cubcom}), �
$\pi^{-1}(C_I)=B_I$. �᫨ �� ����� $I\subset J$, � $B_I$ �������᪨
�⮦���⢫���� � ���������⢮� $B_J$. �������⥫쭮 �������� $\zk$
᪫�������� �� ���������� $B_I$, ᮮ⢥������� ᨬ����ᠬ $v_I$ ��������
$K$. (�� ���� ����� ���� ⠪�� �ᯮ�짮���� ��� ������⥫��⢠ ⮣� 䠪�,
�� $\zk$ ���� ������� �������ࠧ��� �� �᫮���, ��
$K$ ���� �����⢥��� �������ᮬ � �࠭�筮�� ��������� ���⮣�
������࠭����, �.~\cite[⥮६�~2.4]{BP2}.)

��� ������� ᨬ����� $v_I\subset K$ ���������⢮
$B_I\subset\zk$ ����ਠ�⭮ �⭮�⥫쭮 ����⢨� ��
$T^m$ ��~$\zk$. �������⥫쭮, ��������� ��५�
$B_TK=ET^m\times_{T^m}\zk$ ⠪�� ᪫�������� �� �������権 ��५�
$ET^m\times_{T^m}B_I$ (�ࠢ��� �� � �����쭮� �������樥�
$B_TP$ ��~\cite[p.~435]{DJ}). ��᫥���� ����࠭�⢮ ����� ���� ࠧ������ ���
$ET^m\times_{T^m}B_I=\bigl(ET^k\times_{T^k}(D^2)^k\bigr)\times ET^{m-n}$,
�� ����⮯��᪨ ���������⭮ $BT^k_I$. �������⥫쭮,
��࠭�祭�� �஥�樨 $p:B_TK\to BT^m$ ��
$ET^m\times_{T^m}B_I$ ����⮯��᪨ ���������⭮ ��������
$BT^k_I\hookrightarrow BT^m$. �� ����⮯��᪨� ���������⭮�� ���
��� ᨬ����ᮢ
$v_I\subset K$ ᪫�������� ����� � �ॡ㥬�� ����⮯����� ���������⭮���
����� $p:B_TK\to BT^m$ � $i:\tbtk\hookrightarrow BT^m$.
\end{proof}

\begin{corollary}
\label{homfib}
  ���������� $U(K)$ ���䨣��樨 ���न����� �������࠭�� ����
  ����⮯��᪨� ᫮�� ����筮�� ��������
  $i:\tbtk\hookrightarrow BT^m$.\ep
\end{corollary}

\begin{corollary}
\label{eqv}
  ����� $H^{*}_{T^m}\bigl(U(K)\bigr)$ $T^m$-������ਠ���� �����������
  ���������� $U(K)$ ������䭮 ������ �࠭�� $\k(K)$.
\end{corollary}
\begin{proof}
  �� ����� $H^{*}_{T^m}\bigl(U(K)\bigr)=H^{*}\bigl(ET^m\times_{T^m}U(K)\bigr)=
  H^{*}(B_TK)$. ������ ᫥��⢨� ��⥪��� ��
  �����~\ref{cohomtbtk} � ⥮६�~\ref{he2}.
\end{proof}

\section{����� ����������� $U(K)$}

{\sloppy
����� ������� $\k[v_1,\ldots,v_m]$-᢮������ १��좥�� ����� �࠭��
$\k(K)$ ��� �ࠤ�஢������ ����� ��� ����殬 �����童���
$\k[v_1,\ldots,v_m]$:
\begin{equation}
\label{resol}
  \begin{CD}
  0\to R^{-h} @>d^{-h}>> R^{-h+1} @>d^{-h+1}>> \cdots\to R^{-1}
  \stackrel{d^{-1}}{\longrightarrow} R^0
  \stackrel{d^{0}}{\longrightarrow} \k(K)\to 0
  \end{CD}
\end{equation}

}
\noindent(����⨬, �� � ᨫ� ⥮६� ���졥�� � ᨧ�����, � �।��饩
��㫥
$h\le m$). �ਬ���� �㭪�� $\otimes_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\k$ �~(\ref{resol}),
�� ����砥� ��楯��� ��������:
$$
  \begin{CD}
   0 \longrightarrow R^{-h}\otimes_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\k \longrightarrow
   \cdots \longrightarrow R^0\otimes_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\k
   \longrightarrow 0,
  \end{CD}
$$
����������� ���ண� �����������
$\Tor^{-i}_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)$. ��� ��� ��
$R^{-i}$ � १��좥��~(\ref{resol}) ����� �ࠤ�஢���묨
$\k[v_1,\ldots,v_m]$-����ﬨ,
$\Tor^{-i}_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)=\bigoplus_j
\Tor^{-i,j}_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)$ ����
�ࠤ�஢���� $\k$-���㫥�, �
\begin{equation}
\label{tor}
  \Tor_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)=\bigoplus_{i,j}
  \Tor^{-i,j}_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)
\end{equation}
���� {\it ���ࠤ�஢����} $\k$-���㫥�. ����⨬, �� � ���
���㫥��� ������⮢ ��ࢠ� �ࠤ�஢�� �ᥣ�� ��������⥫쭠, � ����~---
������⥫쭠 � �⭠ (⠪ ��� $\deg v_i$=2).
���ࠤ�஢���� $\k$-�����~(\ref{tor}) ����� ⠪�� ��ᬠ�ਢ��� ��� ����
�ࠤ�஢���� ����� �⭮�⥫쭮 ������ �⥯��� $-i+j$. ��᫠ ����
\begin{align*}
  \beta^{-i}\bigl(\k(K)\bigr)&=
  \dim_{\k}\Tor^{-i}_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)\\
  \intertext{�}
  \beta^{-i,2j}\bigl(\k(K)\bigr)&=
  \dim_{\k}\Tor^{-i,2j}_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)
\end{align*}
�।�⠢���� ����让 ����� ��� ��������᪮� ��������ਪ�; ��� ���砫���
ࠧ���묨 ���ࠬ� (�., ���ਬ��,~\cite{St}). �� 㯮�ﭥ� ���� ����
१���� ������, ����� ᢮��� ���᫥���
$\beta^{-i,2j}\bigl(\k(K)\bigr)$ � ���᫥��� ��������� ����������ᮢ
ᨬ���樠�쭮�� ��������~$K$.
\begin{theorem}[\rm ������~\cite{Ho}, \cite{St}]
\label{hoch}
  �� ���졥�� $\sum_{j}\beta^{-i,2j}\bigl(\k(K)\bigr)t^{2j}$ �����
  $\Tor^{-i}_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)$ �������� �� ��㫥
  $$
    \sum_{j}\beta^{-i,2j}\bigl(\k(K)\bigr)t^{2j}=
    \sum_{I\subset\{v_1,\ldots,v_m\}}
    \bigl(\dim_{\k}\tilde{H}_{|I|-i-1}(K_I)\bigr)t^{2|I|},
  $$
  ��� $K_I$~--- ����������� $K$, ����騩 �� ��� ᨬ����ᮢ � ���設���
  �~$I$.\ep
\end{theorem}
����⨬, �� ���᫥��� �ᥫ $\beta^{-i,2j}\bigl(\k(K)\bigr)$, �᭮������ ��
�⮩ ⥮६� �⠭������ ���쬠 ᫮��� ���� ��� �������� �������ᮢ~$K$.

����뢠����, �� ����� $\Tor_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)$
����᪠�� ����⢥���� �������� ���ࠤ�஢����� {\it �������}, �
ᮮ⢥������� �ࠤ�஢����� ������ ���� � �筮�� ������ �����������
$H^{*}\bigl(U(K)\bigr)$:
\begin{theorem}
\label{cohom1}
  ����� ���� ᫥���騩 ������䨧� �ࠤ�஢����� ������:
  $$
   H^{*}\bigl(U(K)\bigr)\cong\Tor_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)
  $$
\end{theorem}
\begin{proof}
���ᬮ�ਬ ������⨢��� ����ࠬ��
\begin{equation}
\label{wuk}
  \begin{CD}
    \widetilde{U(K)} @>>> ET^m\\
    @VVV @VVV\\
    \tbtk @>i>> BT^m,
  \end{CD}
\end{equation}
��� ����� ���⨪��쭠� ��५�� ������砥� �����஢����� ��᫮����.
�����⢨�~\ref{homfib} �����뢠��, �� $\widetilde{U(K)}$ ����⮯��᪨
���������⭮ $U(K)$.

��~(\ref{wuk}) �� ����砥�, �� ������� ������� ��楯��
$C^{*}(\tbtk)$ � $C^{*}(ET^m)$ ����� ����ﬨ ��� $C^{*}(BT^m)$.
��� ᫥��� �� ������⥫��⢠ �����~\ref{cohomtbtk}, �� �����
$C^{*}(\tbtk)=\k(K)$, �
$i^{*}:C^{*}(BT^m)=\k[v_1,\ldots,v_m]\to\k(K)=C^{*}(\tbtk)$ ����
������䨧��� �� 䠪�મ���. ��� ��� ����࠭�⢮ $ET^m$ �������, ��
����� 楯��� ���������⭮��� $C^{*}(ET^m)\to\k$. �������⥫쭮, ����� ����
������䨧�
\begin{equation}
\label{chain}
 \Tor_{C^{*}(BT^m)}\bigl(C^{*}(\tbtk),C^{*}(ET^m)\bigr)\cong
 \Tor_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr).
\end{equation}

�����ࠫ쭠� ��᫥����⥫쭮��� �������࣠--��� (�.~\cite[Theorem~1.2]{Sm})
������⨢���� ������~(\ref{wuk}) ����� 童� $E_2$ ᫥���饣� ����
$$
  E_2=\Tor_{H^{*}(BT^m)}\bigl(H^{*}(\tbtk),H^{*}(ET^m)\bigr)
$$
� �室���� � $\Tor_{C^{*}(BT^m)}(C^{*}(\tbtk),C^{*}(ET^m))$. ��� ���
$$
  \Tor_{H^{*}(BT^m)}(H^{*}(\tbtk),H^{*}(ET^m))=
  \Tor_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr),
$$
�� (\ref{chain}) ��⥪���, �� ᯥ��ࠫ쭠� ��᫥����⥫쭮��� ��஦������ �
童�� $E_2$, � ���� $E_2=E_{\infty}$. �����, �।�������~3.2 ��~\cite{Sm}
�����뢠��, �� �����
$\Tor_{C^{*}(BT^m)}\bigl(C^{*}(\tbtk),C^{*}(ET^m)\bigr)$ ���� �����ன,
������䭮� ������ ����������� $H^{*}\bigl(\widetilde{U(K)}\bigr)$, ��
�����蠥� ������⥫��⢮.  \end{proof}

��� ᫥����� ⥮६� ���� �� ���ᠭ�� ������� $H^{*}\bigl(U(K)\bigr)$
��� ������� ����������� ���⮩ ����७樠�쭮� ���ࠤ�஢����� �������.
���ᬮ�ਬ ⥭��୮� �ந�������� $\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m]$
����� �࠭�� $\k(K)=\k[v_1,\ldots,v_m]/I$ � ���譥� �������
$\Lambda[u_1,\ldots,u_m]$ � $m$ ��ࠧ��騬�, � �ॢ�⨬ ��� �
����७樠���� ���ࠤ�஢����� �������, �������
\begin{gather}
  \bideg v_i=(0,2),\quad\bideg u_i=(-1,2),\notag\\
  \label{diff}
  d(1\otimes u_i)=v_i\otimes 1,\quad d(v_i\otimes 1)=0
\end{gather}
� �ॡ��, �⮡� $d$ �� ����७�஢����� ������.

\begin{theorem}
\label{cohom2}
  ����� ���� ᫥���騩 ������䨧� �ࠤ�஢����� ������:
  $$
    H^{*}\bigl(U(K)\bigr)\cong
    H\bigl[\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m],d\bigr],
  $$
  (�ࠢ�� ���� ���� �ࠤ�஢����� �����ன �⭮�⥫쭮 ������
  �⥯���).
\end{theorem}
\begin{proof}
�ॢ�⨬ $\k$ � $\k[v_1,\ldots,v_m]$-����� �� ����� �������䨧��, �����
�⮡ࠦ��� 1 � 1 � $v_i$ � 0. ���ᬮ�ਬ १��좥��� �����
(�., ���ਬ��,~\cite[�����~VII,~\S~2]{Ma})
$\k[v_1,\ldots,v_m]$-�����~$\k$:
$$
  \bigl[\k[v_1,\ldots,v_m]\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m],d\bigr],
$$
��� ����७樠� $d$ ��।���� ��� �~(\ref{diff}). ��� ��� ���ࠤ�஢�����
��ਮ���᪮� �ந�������� $\Tor_{\k[v_1,\ldots,v_m]}(\ ,\ )$
���� ᨬ�����᪮� �㭪樥� ᢮�� ��㬥�⮢, �� �����
$$
  \Tor_{\Gamma}\bigl(\k(K),\k\bigr)\\
  =H\bigl[\k(K)\otimes_{\Gamma}\Gamma\otimes
  \Lambda[u_1,\ldots,u_n],d\bigr]\\
  =\bigl[\Gamma\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m],d\bigr],
$$
��� �� ������稫� $\Gamma=\k[v_1,\ldots,v_m]$. ��� ��� � ᨫ�
⥮६�~\ref{cohom1}
$H^{*}\bigl(U(K)\bigr)\cong\Tor_{\Gamma}\bigl(\k(K),\k\bigr)$, �� ����砥�
�ॡ㥬� ������䨧�.
\end{proof}

����⨬, �� �।���� ⥮६� �� ⮫쪮 ������ ������� �����������
���������� $U(K)$, �� ⠪�� �ॢ�頥� ��᫥���� �
{\it ���ࠤ�஢�����} �������.

\begin{corollary}
\label{ls}
  �����ࠫ쭠� ��᫥����⥫쭮��� ���--���� ��᫮����
  $\widetilde{U(K)}\to\tbtk$ � ᫮�� $T^m$
  (�.~{\rm(\ref{wuk})}) ��஦������ � 童�� $E_3$.
\end{corollary}
\begin{proof}
���ᬠ�ਢ����� ᯥ��ࠫ쭠� ��᫥����⥫쭮��� �室���� �
$H^{*}\bigl(\widetilde{U(K)}\bigr)=H^{*}\bigl(U(K)\bigr)$ � �����
$$
  E_2=H^{*}(\tbtk)\otimes H^{*}(T^m)=
  \k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m].
$$
����� ������, �� ����७樠� � 童��
$E_2$ ������� ��� �~(\ref{diff}). �������⥫쭮, $E_3=H[E_2,d]=
H\bigl[\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m]\bigr]=H^{*}\bigl(U(K)\bigr)$, �
ᨫ� ⥮६�~\ref{cohom2}.
\end{proof}

\begin{proposition}
\label{monom}
  �।�������, �� �����
  $$
  v^{\alpha_1}_{i_1}\ldots v^{\alpha_p}_{i_p} u_{j_1}\ldots
  u_{j_q}\in\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m],
  $$
  ��� $i_1<\ldots<i_p$, $j_1<\ldots<i_q$,
  �।�⠢��� ���ਢ����� ����� ����������� �
  $H^{*}\bigl(U(K)\bigr)$. �����
  $\alpha_1=\ldots=\alpha_p=1$, $\{v_{i_1},\ldots,v_{i_p}\}$ ��஦����
  ᨬ����� $K$ � $\{i_1,\ldots,i_p\}\cap\{j_1,\ldots,j_q\}=\varnothing$.
\end{proposition}
\begin{proof}
��.~\cite[�����~5.3]{BP2}.
\end{proof}

��� 㦥 �⬥砫��� ��� (�. �ਬ��~\ref{zp}), �᫨ $K$ ���� �࠭���
�������ᮬ ��㪫��� ᨬ���樠�쭮�� ������࠭����
(���, ���������⭮, $K$ ���� �����⢥��� �������ᮬ � �࠭�筮��
��������� ���⮣� ������࠭����), ��� �� �ࠩ��� ��� ᨬ���樠�쭮� ��ன,
� $U(K)$ ����� ����⮯��᪨� ⨯ �������� �������ࠧ�� $\zk$. ���
�������� �~\cite[���६�~2.10]{BP2}, ᮮ⢥������� ����⮯��᪠�
���������⭮��� ����� ���� ������஢��� ��� �஥��� $U(K)\to
U(K)/\R^{m-n}\cong\zk$ �� ����࠭�⢮ �ࡨ� ��� �����ண� ����⢨�
$\R^{m-n}$ �� $U(K)$.

���䨣��樨 ���न����� �������࠭��
$\mathcal A(K)$ � �� ���������� $U(K)$ ����� ������ ஫� � ⥮ਨ ���᪨�
�������ࠧ�� � ᨬ������᪮� ������ਨ
(�., ���ਬ��,~\cite{Au}, \cite{Ba}, \cite{Co}). � ������, ������
$n$-��୮� ᨬ���樠�쭮� ���᪮� �������ࠧ�� $M$, ��।��塞��
(ᨬ���樠���) ���஬ $\Sigma$ � $\Z^n$ � $m$ �������묨 ����ᠬ� �����
���� ����祭� ��� ��������᪨� 䠪�� $U(K_{\Sigma})/G$. ����� $G$ ����
������� �����㯯� �������᭮�� ��
$(\C^{*})^{m}$, ������䭠� $(\C^{*})^{m-n}$, � $K_{\Sigma}$ ����
ᨬ���樠��� ��������, ��।��塞� ���஬ $\Sigma$ ($i$-ᨬ������
�������� $K_{\Sigma}$ ᮮ⢥������ $(i+1)$-���� ����ᠬ ����~$\Sigma$).
������� �஥�⨢��� ���᪮� �������ࠧ�� $M$ ���� ᨬ������᪨�
�������ࠧ��� ����⢥���� ࠧ��୮��~$2n$. �� �������ࠧ�� ����� ����
����祭� � १���� ����� {\it ᨬ������᪮� ।�樨} ᫥���騬
��ࠧ��.  ����� $G_{\R}\cong T^{m-n}$~--- ���ᨬ��쭠� ������⭠� �����㯯�
$G$, � $\mu:\C^m\to\R^{m-n}$~--- �⮡ࠦ���� �����⮢ ��� ������⮭���
����⢨� ��㯯� $G_{\R}$ �� $\C^m$. ����� ��� ��� ॣ��୮�� ���祭��
$a\in\R^{m-n}$ �⮡ࠦ���� $\mu$ ����� ���� ���䥮���䨧�
$$
  \mu^{-1}(a)/G_{\R}\longrightarrow U(K_{\Sigma})/G=M
$$
(���஡���� �. �~\cite{Co}). � �⮩ ���樨 ����� ������, ��
$\mu^{-1}(a)$ ���� � �筮�� ��� �������ࠧ��
$\zk$ ��� $K=K_{\Sigma}$.

\begin{example}
  ����� $G\cong\C^{*}$~--- ��������쭠� �����㯯� � $(\C^{*})^{n+1}$, �
  $K_{\Sigma}$~--- �࠭��� �������� $n$-ᨬ�����. �����
  $U(K_{\Sigma})=\C^{n+1}\setminus\{0\}$, � $M=\C^{n+1}\setminus\{0\}/\C^{*}$
  ���� �������᭮� �஥�⨢��� ����࠭�⢮
  $\C P^n$. �⮡ࠦ���� �����⮢ $\mu:\C^m\to\R$ ��ॢ����
  $(z_1,\ldots,z_m)\in\C^m$ � $\frac12(|z_1|^2+\ldots+|z_m|^2)$, � ���
  $a\ne0$ �� ����� $\mu^{-1}(a)\cong S^{2n+1}\cong\zk$ (�. �ਬ��~\ref{zp}).
\end{example}

� ��砥, ����� $K$ ���� ᨬ���樠�쭮� ��ன
(⠪�� ��ࠧ��, $U(K)$ ����⮯��᪨ ���������⭮ ��������
�������ࠧ��~$\zk$), � ����� ����������� $H^{*}\bigl(U(K)\bigr)$ ����� ����
�����⢥������ �㠭���.

\begin{proposition}
\label{poin}
  ����� $K$ --- ᨬ���樠�쭠� ��� ࠧ��୮�� $n-1$, � ����
  $U(K)$ ����⮯��᪨ ���������⭮ �������� �������ࠧ�� $\zk$. �����

  1) �����⢥������ �㠭��� � �����
  $H^{*}\bigl(U(K)\bigr)$ 㢠���� ���ࠤ�஢����� ��������, ��।��塞��
  ⥮६��~{\rm\ref{cohom2}}. � ������, �᫨
  $\alpha\in H^{-i,2j}(U(K)\bigr)$~--- ������� ����� �����������, � ���
  �����⢥��� �� �㠭��� ����� $D\alpha$ �ਭ������� $H^{-(m-n)+i,2(m-j)}$.

  2) ����� $\{v_{i_1},\ldots,v_{i_n}\}$~---  ������� $(n-1)$-ᨬ����� $K$
  � ����� $j_1<\ldots<j_{m-n}$,
  $\{i_1,\ldots,i_n,j_1,\ldots,j_{m-n}\}=\{1,\ldots,m\}$.
  ����� ���祭�� �������
  $$
    v_{i_1}\cdots v_{i_n}u_{j_1}\cdots
    u_{j_{m-n}}\in H^{m+n}\bigl(U(K)\bigr)\cong H^{m+n}(\zk)
  $$
  �� �㭤����⠫쭮� ����� �������ࠧ�� $\zk$ ࠢ�� $\pm1$.

  {\sloppy 3) ����� $\{v_{i_1},\ldots,v_{i_n}\}$ �
  $\{v_{i_1},\ldots,v_{i_{n-1}},v_{j_1}\}$~--- ������� ���
  ${(n-1)}$-ᨬ����� $K$, ������ ����� �࠭�
  $\{v_{i_1},\ldots,v_{i_{n-1}}\}$ ࠧ��୮�� ${(n-2)}$, �
  $j_1,\ldots,j_{m-n}$~--- ⠪�� ��, ��� � �~2). �����
  $$
    v_{i_1}\cdots v_{i_n}u_{j_1}\cdots u_{j_{m-n}}=
    v_{i_1}\cdots v_{i_{n-1}}v_{j_1}u_{i_n}u_{j_2}\cdots u_{j_{m-n}}
  $$
  � $H^{m+n}\bigl(U(K)\bigr)$.

  }
\end{proposition}
\begin{proof}
������⥫��⢮ 1) � 2) �. �~\cite[�����~5.1]{BP2}. ��� ������⥫��⢠~3)
����⨬, ��
\begin{multline*}
  d(v_{i_1}\cdots v_{i_{n-1}}u_{i_n}u_{j_1}u_{j_2}\cdots u_{j_{m-n}})\\
  =v_{i_1}\cdots v_{i_n}u_{j_1}\cdots u_{j_{m-n}}-
  v_{i_1}\cdots v_{i_{n-1}}v_{j_1}u_{i_n}u_{j_2}\cdots u_{j_{m-n}}
\end{multline*}
� ������ $\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m]$ (�.~(\ref{diff})).
\end{proof}

{\sloppy
������樠��� �������� $K$ ���뢠���� {\it �������ᮬ �����--�������}, �᫨
��� ����� �࠭�� $\k(K)$ ���� �����ன �����--�������, � ����
$\k(K)$ ���� ����筮���� ᢮����� ���㫥� ��� ����殬 �����童���
$\k[t_1,\ldots,t_n]$ (����� $n$~--- ���ᨬ��쭮� �᫮ �����ࠨ�᪨
������ᨬ�� ������⮢ ����� $\k(K)$). ���������⭮, ����� $\k(K)$ ����
�����ன �����--�������, �᫨ ��� ����᪠��
{\it ॣ����� ��᫥����⥫쭮���} $\{\l_1,\ldots,\l_n\}$, � ���� �����
�� $n$ ����த��� ������⮢ ⠪��, ��
$\l_{i+1}$ �� ���� ����⥫�� ��� �
$\k(K)/(\l_1,\ldots,\l_i)$ ��� $i=0,\ldots,n-1$. �᫨ $K$ ���� �������ᮬ
�����--�������, � ���� $\k$ ����� ��᪮����� �ࠪ���⨪�, � �����
$\k(K)$ ����᪠�� ॣ����� ��᫥����⥫쭮��� ������⮢ �⥯��� ���
(��������, �� �� �������� $\deg v_i=2$ � $\k(K)$), � ����
$\l_i=\l_{i1}v_1+\l_{i2}v_2+\ldots+\l_{im}v_m$, $i=1,\ldots,n$.

}
\begin{theorem}
\label{cohom3}
  �।�������, �� $K$ ���� �������ᮬ �����--������� �
  $J=(\l_1,\ldots,\l_n)$~--- ����� � $\k(K)$, ��஦����� ॣ��୮�
  ��᫥����⥫쭮����. ����� ����� ���� ᫥���騩 ������䨧� ���ࠤ�஢�����
  ������.
  $$
    H^{*}\bigl(U(K)\bigr)\cong
    H\bigl[\k(K)/\!J\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_{m-n}],d\bigr],
  $$
  ��� �ࠤ�஢�� � ����७樠� � �ࠢ�� ��� ��।����� ᫥���騬 ��ࠧ��:
  \begin{align*}
    \bideg v_i=(0,2),\quad\bideg u_i=(-1,2);\\
    d(1\otimes u_i)=\l_i\otimes 1,\quad d(v_i\otimes 1)=0,
  \end{align*}
\end{theorem}
����� ��ࠧ��, �᫨ $K$ ���� �������ᮬ �����--�������, � �����������
$U(K)$ ����� ������� �ᯮ���� ����筮����� ����७樠���� �������
$\k(K)/\!J\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_{m-n}]$ ����� ��᪮��筮��୮� �������
$\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m]$ �� ⥮६�~\ref{cohom2}.

\begin{example}
\sloppy
����� $K$ �।�⠢��� ᮡ�� �࠭��� ��������
${(m-1)}$-��୮�� ᨬ�����. �����
$\k(K)=\k[v_1,\ldots,v_m]/(v_1\cdots v_m)$. ����� ������, �� ���ਢ�����
������ ����������� � ������
$H\bigl[\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m],d\bigr]$ (�.
⥮६�~\ref{cohom2}) �।�⠢������ ���� ��横����
$1$ � $v_1v_2\cdots v_{m-1}u_m$, ��� �� ���묨. �� �����
$\deg (v_1v_2\cdots v_{m-1}u_m)=2m-1$, � �।�������~\ref{poin} �����뢠��,
�� $v_1v_2\cdots v_{m-1}u_m$ ���� �㭤����⠫�� �����������᪨�
����ᮬ $\zk\cong S^{2m-1}$ (�. �ਬ��~\ref{zp}~1)\,).
\end{example}

\begin{example}
����� $K$ �।�⠢��� ᮡ�� ���吝�� ��ꥤ������ $m$ ���設.
����� $U(K)$ ����砥��� 㤠������ �� $\C^m$ ��� ���न����� �������࠭��
��ࠧ��୮�� ��� (� ���� ���� $z_i=z_j=0$, $i,j=1,\ldots,m$, �.
�ਬ��~\ref{uk}), � $\k(K)=\k[v_1,\ldots,v_m]/I$, ��� $I$~--- �����
��஦����� �ᥬ� �������� $v_iv_j$, $i\ne j$. ��� ᫥��� ��
⥮६�~\ref{cohom2} � �।�������~\ref{monom}, �� ����� ����������� ��
$H^{*}\bigl(U(K)\bigr)$ �।�⠢����� � ���� �������� �������樨
��横���-�������
$v_{i_1}u_{i_2}u_{i_3}\cdots u_{i_k}\subset
\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m]$ ⠪��, �� $k\ge2$, $i_p\ne i_q$ ��
$p\ne q$. ��� ������� $k$ ������� $m\binom{m-1}{k-1}$ ⠪�� �������,
� ����� ���� ������� $\binom{m}{k}$ ᮮ⭮襭�� (������ ᮮ⭮襭��
����砥��� �� ���᫥��� ����७樠�� �������
$u_{i_1}\cdots u_{i_k}$). ��� ���
$\deg(v_{i_1}u_{i_2}u_{i_3}\cdots u_{i_k})=k+1$, �� �����
\begin{align*}
  &\dim H^{0}\bigl(U(K)\bigr)=1,\quad
  H^{1}\bigl(U(K)\bigr)=H^{2}\bigl(U(K)\bigr)=0,\\
  &\dim H^{k+1}\bigl(U(K)\bigr)=\textstyle
  m\binom{m-1}{k-1}-\binom{m}{k},\quad 2\le k\le m,\\
  &\dim H^{k+1}\bigl(U(K)\bigr)=0,\quad k>m.
\end{align*}
� 㬭������ � ������������ �ਢ���쭮.

� ��⭮��, �� $m=3$ �� ����� 6 ��嬥��� ����ᮢ �����������
$v_iu_j$, $i\ne j$, �易���� 3 ᮮ⭮襭�ﬨ
$v_iu_j=v_ju_i$, � 3 ����嬥��� ����� �����������
$v_1u_2u_3$, $v_2u_1u_3$, $v_3u_1u_2$, �易���� ����� ᮮ⭮襭���
$$
  v_1u_2u_3-v_2u_1u_3+v_3u_1u_2=0.
$$
�������⥫쭮, $\dim H^{3}\bigl(U(K)\bigr)=3$, $\dim
H^{4}\bigl(U(K)\bigr)=2$, � 㬭������ �ਢ���쭮.
\end{example}

\begin{example}
����� $K$~--- �࠭��� �������� $m$-㣮�쭨�� ($m\ge4$). �����, ��� �� 㦥
�⬥砫� ���, ������-㣮� �������� $\zk$ ���� ������� �������ࠧ���
ࠧ��୮�� $m+2$, � $U(K)$ ����⮯��᪨ ���������⭮ $\zk$. �� �����
$\k(K)=\k[v_1,\ldots,v_m]/I$, ��� $I$ ��஦��� ��������
$v_iv_j$ ⠪���, �� $i\ne j\pm1$ (����� �� �ᯮ��㥬 ᮣ��襭��
$v_{m+i}=v_i$ � $v_{i-m}=v_i$). ����� ����������� ⠪�� �������ࠧ�� �뫨
���᫥�� � ࠡ��~\cite{BP2}. �� �����
$$
  \dim H^k\bigl(U(K)\bigr)=\left\{
  \begin{array}{l}
    1\quad\text{�� }k=0\text{ ��� }m+2;\\[1mm]
    0\quad\text{�� }k=1,2,m\text{ ��� }m+1;\\[1mm]
    (m-2)\binom{m-2}{k-2}-\binom{m-2}{k-1}-\binom{m-2}{k-3}
    \quad\text{�� }3\le k\le m-1.
  \end{array}
  \right.
$$
���ਬ��, � ��砥 $m=5$ ������� 5 ��ࠧ���� ��㯯�
$H^3\bigl(U(K)\bigr)$, �।�⠢������ ��横����
$v_iu_{i+2}\in\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_5]$, $i=1,\ldots,5$,
� 5 ��ࠧ���� ��㯯� $H^4\bigl(U(K)\bigr)$, �।�⠢������ ��横����
$v_ju_{j+2}u_{j+3}$, $j=1,\ldots,5$. ��� ᫥��� ��
�।�������~\ref{poin}, �ந�������� ��横��� $v_iu_{i+2}$ �
$v_ju_{j+2}u_{j+3}$ �।�⠢��� ���ਢ����� ����� ����������� �
$H^7\bigl(U(K)\bigr)$ (� ������, �㭤����⠫�� ����� � �筮���� �� �����)
⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, �����
$\{i,i+2,j,j+2,j+3\}=\{1,2,3,4,5\}$. �������⥫쭮, ��� ������� �����
����������� $[v_iu_{i+2}]$ ������� �����⢥��� (�����⢥��� �� �㠭���)
����� ����������� $[v_ju_{j+2}u_{j+3}]$ ⠪��, �� �ந��������
$[v_iu_{i+2}]\cdot[v_ju_{j+2}u_{j+3}]$ ���ਢ���쭮.
\end{example}


\begin{thebibliography}{BR2}

\bibitem{Ar}
�.\,�.~�୮��,
{\it ����� ����������� ��㯯� ��襭��� ���},
��⥬. ����⪨~{\bf 5} (1969), 227--231.

\bibitem{Au}
M.~Audin,
{\it The Topology of Torus Actions on Symplectic Manifolds},
Progress in Mathematics~{\bf 93}, Birkh\"auser, Boston Basel Berlin, 1991.

\bibitem{Ba}
V.\,V.~Batyrev,
{\it Quantum Cohomology Rings of Toric Manifolds},
Journ\'ees de G\'eom\'etrie Alg\'ebrique d'Orsay (Juillet 1992),
Ast\'erisque {\bf 218}, Soci\'ete Math\'ematique de France, Paris,
1993, pp. 9--34;
����㯭� � ���୥� http://xxx.lanl.gov/abs/alg-geom/9310004.

\bibitem{Br}
E.~Brieskorn,
{\it Sur le groupes de tresses},
in: S\'eminare Bourbaki 1971/72, Lecture Notes in Math. {\bf 317},
Springer-Verlag, Berlin-New York, 1973, pp. 21--44.

\bibitem{BP1}
�.\,�.~����⠡��, �.\,�.~�����,
{\it �����ࠨ�᪠� ⮯������ �������ࠧ��, ��।��塞�� ����묨
������࠭������},
�ᯥ� ���. ��� {\bf 53} (1998), \�����3, 195--196.

\bibitem{BP2}
�.\,�.~����⠡��, �.\,�.~�����,
{\it ����⢨� �� � ��������ਪ� ������࠭�����},
���� �� ��� ��. �⥪���� {\bf 225} (1999), 96--131;
����㯭� � ���୥� http://xxx.lanl.gov/abs/math.AT/9909166.

\bibitem{BR1}
�.\,�.~����⠡��, �.~���,
{\it ����᪨� �������ࠧ�� � ��������� ����न���},
�ᯥ� ���. ��� {\bf 53} (1998), \�����2, 139--140.

\bibitem{BR2}
V.\,M.~Buchstaber and N.~Ray,
{\it Tangential structures on toric manifolds, and connected sums of
polytopes}, preprint UMIST, Manchester, 1999.

\bibitem{Co}
D.\,A.~Cox,
{\it Recent developments in toric geometry},
in: Algebraic geometry (Proceedings of the Summer
Research Institute, Santa Cruz, CA, USA, July 9--29, 1995), J.~Kollar,
(ed.) et al. Providence, RI: American Mathematical Society. Proc. Symp.
Pure Math. {\bf 62} (pt.2), 389-436 (1997);
available at http://xxx.lanl.gov/abs/alg-geom/9606016.

\bibitem{Da}
�.~Danilov,
{\it �������� ���᪨� �������ࠧ��},
�ᯥ� ���. ��� {\bf 33} (1978), \�����2, 85--134.

\bibitem{DJ}
M.~Davis and T.~Januszkiewicz,
{\it Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions},
Duke Math. Journal {\bf 62}, (1991), no.~2, 417--451.

\bibitem{dCP}
C. De Concini and C. Procesi,
{\it Wonderful models of subspace arrangements},
Selecta Mathematica, New Series {\bf 1} (1995), 459--494.

\bibitem{dL}
M. De Longueville,
{\it The ring structure on the cohomology of coordinate subspace
arrangements},
preprint, 1999;
����㯭� � ���୥� http://www.math.tu-berlin.de/\~{}ziegler.

\bibitem{Fu}
W.~Fulton,
{\it Introduction to Toric Varieties,}
Princeton Univ. Press, 1993.

\bibitem{GM}
�. ���᪨, �. �����ᮭ,
{\it ������஢����� ⥮�� ����},
���, ��᪢�, 1991.

\bibitem{Ho}
M. Hochster,
{\it Cohen--Macaulay rings, combinatorics, and simplicial complexes},
in: Ring Theory II (Proc. Second Oklahoma Conference),
B.\,R.~McDonald and R.~Morris, editors, Dekker, New York, 1977,
pp.~171--223.

\bibitem{Ma}
�. �������,
{\it ���������},
���, ��᪢�, 1966.

\bibitem{OS}
P.~Orlik and L.~Solomon,
{\it Combinatorics and Topology of Complements of Hyperplanes},
Invent. Math. {\bf 56} (1980), 167--189.

\bibitem{Pa1}
�.\,�.~�����,
{\it ���������� ���� ��� $\chi_y$-த� �����ਥ��஢������
��������᪮�� �������ࠧ��},
�ᯥ� ���. ��� {\bf 54} (1999), \�����5, 169--170.

\bibitem{Pa2}
T.\,E.~Panov.
{\it Hirzebruch genera of manifolds with torus action},
preprint, 1999;
����㯭� � ���୥� http://xxx.lanl.gov/abs/math.AT/9910083.

\bibitem{Sm}
L. Smith,
{\it Homological Algebra and the Eilenberg--Moore Spectral Sequence},
Transactions of American Math. Soc. {\bf 129} (1967), 58--93.

\bibitem{St}
R. Stanley,
{\it Combinatorics and Commutative Algebra},
Progress in Math. {\bf 41}, Birkh\"auser, Boston, 1983.

\bibitem{Yu}
S. Yuzvinsky,
{\it Small rational model of subspace complement},
preprint, 1999;
����㯭� � ���୥� http://xxx.lanl.gov/abs/math.CO/9806143.


\end{thebibliography}

\end{document}


