Интегрируемые системы

Исследования в данном направлении ведутся С.П.Новиковым, В.М.Бухштабером, А.П.Веселовым, П.Г.Гриневичем, Б.А.Дубровиным, И.А.Дынниковым, О.И.Моховым, А.В.Пенским, С.В.Смирновым, и Д.В.Талалаевым.

Выделим следующие темы:



Алгебраическая геометрия и квантовые интегрируемые системы


С 2004 года развивалось направление, получившее название "квантовый метод спектральной кривой" (Д.В.Талалаев), состоящее в построении аналога методов алгебраической геометрии, широко используемых в классической теории интегрируемых систем, для квантово-механических моделей типа Годена, Тоды и пр. Были получены квантования некоторых моделей, существенно эффективизированы методы их решения, а также обнаружена связь данного подхода с программой геометрического соответствия Ленглендса. В настоящее время ведется исследование некомутативно-геометрических аспектов метода квантовой спектральной кривой.


Приложения топологии в задачах математической физики


Укажем следующие основные приложения.

Топологические феномены в нормальных металлах, в особенности в благородных металлах

С.П.Новиковым, И.А.Дынниковым и А.Я.Мальцевым в 1996-1998 гг. получена классификация тензоров проводимости для сильных магнитных полей в нормальных металлах со сложными Ферми-поверхностями в случае общего положения. Описаны новые целочисленные наблюдаемые величины.

Струнные уравнения

Теория ''Струнных уравнений, происходящих из матричных моделей'' [L,A]=1 (в частности, уравнения Пенлеве-1). Теория солитонов, различные ассимптотические методы, специальная квазиклассическая теория для пар Лакса, ассоциированных с физическим решением. Струнное уравнения как алгебраический объект, уравнение Пенлеве-1 как уравнение на пространстве модулей эллиптических кривых. (С.П.Новиков, П.Г.Гриневич, 1990-1995 гг.)

Двумерные операторы Шредингера в магнитном поле. Преобразования Лапласа

Циклические, получиклические и квазициклические цепочки Лапласа для двумерного оператора Шредингера для периодического магнитном поля и потенциала, точная решаемость для двух сильно вырожденных уровня энергии
(С.П.Новиков, А.П.Веселов, 1995-1997 гг.)

Дискретные аналоги преобразований Лапласа в эллиптическом и гиперболическом случае. Точно решаемые операторы.
(С.П.Новиков, И.А.Дынников, 1996-1997 гг.)

Графы и симплектическая геометрия

Линейные и нелинейные системы на графах, симплектические вронскианы, топология и теория рассеяния. (С.П.Новиков, 1997-1999 гг.)


Абелевы функции

Классическая теория гиперэллиптических функций Клейна, развитая Шоттки, Буркхартдтом, Бейкером и другими, была незаслуженно забыта и практически не использовалась в широко известных работах по классификации нелинейных дифференциальных уравнений, решаемых в гиперэллиптических функциях.

В работах В.М.Бухштабера, В.З.Энольского и Д.В.Лейкина классическая теория гиперэллиптических сигма-функций Клейна получила существенное развитие, что позволило, в частности, получить явные конструкции гиперэллиптических якобианов и многообразий Куммера. Кроме того, построенная теория открывает перспективу новых приложений в теории интегрируемых систем. Одним из существующих приложений является построение абелевых блоховских решений двумерного уравнения Шредингера. Основные результаты изложены в приведенных ниже работах. В настоящее время строятся обобщения теории гиперэллиптических сигма-функций на случай произвольных алгебраических кривых. Исследуются рациональные аналоги абелевых функций и связанные с ними уравнения математической физики.

[1] V.M.Buchstaber, V.Z.Enolskii, and D.V.Leykin,
Kleinian functions, Hyperelliptic Jacobians and Applications,
Reviews in Mathematics and Mathematical Physics (I.M.Krichever and S.P.Novikov, eds.), Vol. 10, part 2, Gordon and Breach, 1997, pp.1-125.

[2] В.М.Бухштабер, Д.В.Лейкин, В.З.Энольский,
Сигма-функции (n,s)-кривых,
Успехи матем. наук 54 (1999), вып.3, стр.155-156.    Скачать: ps

[3] В.М.Бухштабер, Д.В.Лейкин, В.З.Энольский,
Рациональные аналоги абелевых функций,
Функц. анализ и его прил. 33 (1999), вып.2, стр.1-15.