За последние 2-3 декады прошлого столетия в топологии усиленно развивались направления, которые сейчас принято называть "некоммутативной геометрией". По сути дела, это название группирует круг задач и методов их решения, которые изначально базировались на довольно простой идее переформулировании топологических свойств пространств и отображений в терминах соответствующих алгебр непрерывных функций. Хотя эта идея очень старая и восходит к ключевой теореме Гельфанда-Наймарка о взаимно однозначном соответствиии между категорией компактных топологических пространств и категорией коммутативных C*-алгебр, и разрабатывалась различными авторами как в коммутативном (например, в Московской топологической школе А.М.Виноградовым и его учениками) так и в некоммутативном случае, в более или менее явном виде эта идея была провозглашена в виде программы действия А.Коном в его книге "Некоммутативная геометрия".

Несмотря на ее самоочевидность, идея рассматривать, наряду с коммутативными C*-алгебрами (которые можно интерпретировать как алгебры функций на топологических пространствах ее максимальных идеалов), также и некоммутативные алгебры как функции на несуществующем "некоммутативном" пространстве оказалась настолько плодотворной, что позволила соединить воедино многообразие разноообразных представлений и методов из таких разделов, как топология, дифференциальная геометрия, функциональный анализ, теория представлений, асимптотические методы в анализе м взаимно обогатить их новыми теоремами и свойствами.

Одна из классических задач в гладкой топологии, заключающаяся в описании топологических и гомотопических свойств характеристических класов гладких и кусочно-линейных многообразий, за это время приобрела практически завершенный вид исключительно благодаря тому, что к ней были применены разнообразные методы функционального анализа. И наоборот, попытки осмыслить и решить классические топологические задачи привели к обогащению методов функционального анализа. Как это типично происходит, решение одних частных задач привело к открытию новых горизонтов в развитии математических методов и окрытию новых свойств классических математических объектов.

Именно в указанных направлениях интенсивно проводились исследования в МГУ. Краткое перечисление задач, исследуемых у нас и получивших в том или ином виде развитие, может быть следующим:

• новые классы представлений групп: фредгольмовы представления, представления в коммутативные и некоммутативные алгебры, асимптотические представления;
• двойственность Пуанкаре и формула Хирцебруха;
• теория индекса эллиптических операторов над C*-алгебрами;
• теория гильбертовых C*-модулей.

Обзор-презентация "Некоммутативная геометрия и топология" (В.М.Мануйлов)

См. также Обзор научных направлений школы А.С.Мищенко