(Е.Г.Скляренко)

Абелевы категории и аддитивные функторы. Проективные и инъективные объекты /модули/. Гомологии комплексов, гомотопии. Резольвенты. Производные функторы, связанные последовательности функторов. Свойства универсальности. Гомоморфизм сравнения и итерированный связывающий гомоморфизм. Тензорные произведения и произведения кручения. Группы расширений. Формулы универсальных коэффициентов. Соотношения Кюннета. Производные функторы от обратного предела и предельные соотношения для гомологий. Спектральные последовательности. Гипергомологии. Гомологическая размерность. Пучковые когомологии как производные функтора сечений пучка. Пучковая интерпретация когомологий Чеха.

(А.С.Мищенко, П.С.Попов)

Примерная программа курса:

1. Теория гомотопий.

Гомотопные отображения, гомотопические классы отображений, гомотопическая эквивалентность. Гомотопические группы топологических пространств. Коммутативность гомотопических групп для больших размерностей. Точная гомотопическая последовательность пары. Фундаментальная группа топологического пространства. Представление фундаментальной группы для полиэдров. Вычисление фундаментальной группы двумерных поверхностей. Слабая гомотопическая эквивалентность.

2. Теория гомологий.

Группы сингулярных гомологий и когомологий. Симплициальные и клеточные разбиения пространств. Симплициальные и клеточные гомологии и когомологии, их связь с сингулярными. Гомотопическая инвариантность групп гомологий. Эйлерова характеристика. Умножение в когомологиях. Точная гомологическая и когомологическая последовательности пары. Гомоморфизм Гуревича. Связь фундаментальной группы и группы одномерных гомологий. Теорема Гуревича. Гомологии и когомологии с коэффициентами. Двойственность Пуанкаре для многообразий.

Теории гомологий и когомологий. Теорема единственности для гомологий и когомологий. Пространства Эйленберга-Маклейна. Группы когомологий как группы классов отображений в пространства Эйленберга-Маклейна.

Теория расслоенных пространств.

Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Регулярные накрытия. Универсальное накрытие. Накрытие и фундаментальная группа.

Аксиома о накрывающей гомотопии и расслоение в смысле Серра. Пространство путей и петель, лемма о накрывающей гомотопии для расслоения путей. Локально тривиальные расслоения. Сечения. Точная гомотопическая последовательность расслоения.

Векторные расслоения. Прямая сумма и тензорное произведение векторных расслоений.

Многообразие Грассмана как база универсального векторного расслоения. Пространства Тома и изоморфизм Тома в гомологиях и когомологиях. Характеристические классы векторных расслоений. Понятие группы K(X).

Вычислительные методы.

Основные понятия теории препятствий (препятствующий коцикл и первое препятствие к сечению расслоения). Спектральная последовательность в (ко)гомологиях расслоения.

Когомологические операции. Оператор Бокштейна. Квадраты Стинрода. Алгебра Стинрода.

Приглашаются студенты 3-4 курсов.

(В.М.Бухштабер, Н.Э.Добринская)

Характеристические классы являются важнейшими инвариантами векторных расслоений и гладких многообразий. Область их применения очень широкая, от классических вопросов математики до самых современных вопросов математической физики. В центре внимания спецкурса будет геометрическая конструкция - трансфер, позволяющая единообразно изложить различные подходы к теории характеристических классов. Конструкция характеристических классов на основе трансфера естественным образом приводит к характеристическим классам со значением в теории кобордизмов - наиболее геометрической теории когомологий, используемой в алгебраической топологии.

Изложение будет доступно начинающим. Приглашаются студенты младших курсов.