(В.М.Бухштабер, А.А.Гайфуллин, Т.Е.Панов, среда, 16:45-18:20, ауд. 15-04)

Спецкурс по выбору кафедры

Действия групп на многообразиях -- классическая область топологии. Одной из основных задач здесь является восстановление ``глобальных'' топологических характеристик многообразия (например, эйлеровой характеристики, сигнатуры или более общих родов Хирцебруха) по ``локальным'' инвариантам действия (весам представлений в неподвижных точках).

С начала 1960-х годов, благодаря работам Коннера-Флойда, в теории действий групп стала активно применяться теория кобордизмов. Введение в аппарат теории кобордизмов теории формальных групп в работах школы С.П.Новикова конца 1960-х годов придало придало новый импульс исследованиям по теории действий групп на многообразиях. В то же время, в 1960-х годах были получены фундаментальные результаты Атьи--Сегала по эквивариантной К-теории. В конце 1960-х, начиная с работы том Дика, эти результаты были перенесены в теорию кобордизмов. Была построена эквивариантная теория кобордизмов и развиты методы её приложений к изучению действий групп на многообразиях. В начале 1970-х Квиллен, используя подходы Гротендика в алгебраической геометрии, изложил гомотопические конструкции теории кобордизмов на геометрическим языке.

Параллельно с применениями теории кобордизмов и другими чисто топологическими аспектами, начиная с 1970-х годов действия тора играли всё возрастающую роль в других областях математики. По мере расширения этих приложений возникла целая новая область исследований, ставшая известной как торическая топология. Предметом изучения торической топологии являются алгебраические, комбинаторные, дифференциальные, геометрические и гомотопические аспекты важного класса действий тора с богатой структурой в пространстве орбит.

Курс посвящён изложению классических и новых результатов на стыке двух направлений теории действий групп на многообразиях: приложений теории кобордизмов и торической топологии. В первом семестре будут рассмотрены следующие темы:

1. Основные понятия теории кобордизмов.

2. Построение торических и квазиторических представителей в классах комплексных кобордизмов.

3. Построение геометрической теории эквивариантных кобордизмов том Дика.

4. Конструкция универсального торического рода и её приложения к вычислению инвариантов многообразий с действием тора в терминах локальных данных.

Спецкурс рассчитан на студентов 2--5 курсов.

Приглашаются все желающие.

(А.С.Мищенко, Е.В.Троицкий, пятница, 16:45-18:20, ауд. 15-15)

Спецкурс по выбору кафедры

Программа курса:

1. Теория гомотопий.

Гомотопные отображения, гомотопические класы отображений, гомотопическая эквивалентность. Гомотопические группы топологических пространств. Коммутативность гомотопических групп для больших размерностей. Точная гомотопическая последовательность пары. Фундаментальная группа топологического пространства. Пердставление фундаментальной группы для полиэдров. Вычисление фундаментальной группы двумерных поверхностей. Группа кос как фундаментальная группа конфигурационного пространства системы точек. Вычисление k-мерных гомотопических групп $n$-мерной сферы для k<=n. Слабая гомотопическая эквивалентность. H-пространства и группа гомотопических классов отображений в H-пространство. Коммутативность фундаментальной группы H--пространств.

2. Теория гомологий.

Группы сингулярных гомологий и когомологий. Симплициальные и клеточные разбиения пространств. Симплициальные и клеточные гомологии и когомологии, из связь с сингулярными. Гомотопическая инвариантность групп гомологий. Эйлерова характеристика. Умножение в когомологиях. Точные гомологическая и когомологическая последовательности пары. Надстройки и теорема Фрейденталя. Гомоморфизм Гуревича. Связь фундаментальной группы и группы одномерных гомологий. Теорема Гуревича. Гомологии и когомологии с коэффициентами. Формула универсальных уоэффициентов. Двойственность Пуанкаре для многообразий.

Теории гомологий и когомологий. Теорема единственности для гомологий и когомологий. Обобщенные теории гомологий и когомологий. Пространства Эйленберга-Маклейна. Группы когомологий как группы классов отображений в пространства Эйленберга-Маклейна.

Кольцо когомологий H--пространства как алгебра Хопфа. Классификация градуированных алгебр Хопфа над полем рациональных чисел. Гомологии и кольца когомологий проективных пространств. Клетки Шуберта и гомологии многообразий Грассмана.

3. Теория расслоенных пространств.

Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Регулярные накрытия. Универсальное накрытие. Накрытие и фундаментальная группа.

Аксиома о накрывающей гомотопии и расслоение в смысле Серра. Пространство путей и петель, лемма о накрывающей гомотопии для расслоения путей. Локально тривиальные расслоения. Сечения. Точная гомотопическая последовательность расслоения.

Векторные расслоения. Прямая сумма и тензорное произведение векторных расслоений. Многообразие Грассмана как база универсального векторного расслоения. Пространства Тома и изоморфизм Тома в гомологиях и когомологиях. Характеристические классы векторных расслоений. Понятие группы K(X).

4. Вычислительные методы.

Основные понятия теории препятствий (препятствующий коцикл и первое препятствие к сечению расслоения). Спектральная последовательность в (ко)гомологиях расслоения. Формула Кюннета.

Когомологические операции. Оператор Бокштейна. Квадраты Стинрода. Алгебра Стинрода. Спектральная последовательность Адамса.

5. Обобщенные теории (ко)гомологий.

Бордизмы и кобордизмы. Операции Новикова-Ландвебера. Спектральная последовательность Адамса-Новикова. Формальные группы в кобордизмах и K--теории.

Приглашаются студенты 3,4 курсов.