(В.М. Бухштабер, А.А. Гайфуллин, Т.Е. Панов, среда, 16:45-18:20, ауд. 16-22)

Спецкурс по выбору кафедры

Гладкие многообразия и векторные расслоения - центральные объекты современной топологии. Эти объекты представляют самостоятельный интерес в рамках алгебраической топологии. В то же время на их основе строятся важные методы решения задач, приходящих из других областей математики и физики. Характеристические классы и когомологические операции, которым посвящён спецкурс, являются важнейшими инструментами изучения многообразий и расслоений.

Основы теорий характеристических классов и когомологических операций были заложены в работах Е. Штифеля, Х. Уитни, Л.С. Понтрягина и Н. Стинрода, направленных на решения задач об особенностях векторных полей на многообразиях, о препятствиях к построению сечений расслоений и к продолжению отображений, о гомотопических инвариантах непрерывных отображений. Новый этап для этих теорий связан с введением обобщённых теорий когомологий, в первую очередь K-теории и теории комплексных кобордизмов. Современная теория характеристических классов и когомологических операций обеспечивает тесную связь алгебраической топологии с теорией действий групп на многообразиях, алгебраической геометрией, функциональным анализом, теорией представлений, теорией дифференциальной уравнений и теоретической физикой. Эта связь во многом опирается на геометрические и дифференциально геометрические конструкции, которые будут в центре внимания данного спецкурса.

Спецкурс рассчитан на студентов 2-5 курсов и аспирантов.

Первая лекция состоится 17 сентября 2013 года.

(В.М.Мануйлов, Е.В.Троицкий, понедельник, 18:30-20:05, ауд. 13-03)

1. Будет изложена общая теория C*-алгебр (включая теорию коммутативных С*-алгебр, теорию представлений, коммутативную и некоммутативную теорему Вейля).

2. Будет рассказано о свойствах основных классов C*-алгебр (алгебры мультипликаторов, ядерные и точные С*-алгебры) и  описаны основные примеры С*-алгебр (алгебра компактных операторов, алгебра Калкина, алгебры Кунца, алгебры иррационального вращения, групповые С*-алгебры, скрещенные произведения).

3. Будут изложены основные функторы и инварианты, используемые для классификации C*-алгебр (K-теория, EXT, KK, ранг).

4. Будут описаны приложения, в том числе к дифференциальной топологии.

(Д.В.Талалаев, понедельник, 16:45-18:20, ауд. 448, 2 Гум. корпус)

1. Общее понятие интегрируемости

2. Элементы симплектической и Пуассоновой геометрии

3. Алгебры Ли в теории интегрируемых систем, схема АКС

4. Алгебро-геометрические методы в теории интегрируемых систем. Конструкция Хитчина

5. Методы квантовых групп в интегрируемых системах

1. Система Годена

2. Системы Тоды (открытая, замкнутая, обобщенная)

3. Система Калоджеро-Мозера

4. Система Рудженарса-Шнайдера

5. Геодезические на эллипсоиде

1. Матричных моделях

2. Изомонодромных деформациях

3. Задаче квантования интегрируемых систем

(П.Г.Гриневич, четверг, 16:45-18:20, ауд. 433, 2 Гум. корпус)

1. Операторы в квантовой механике. Уравнение Шредингера, оператор импульса. Уравнение Паули, уравнение Дирака. Неограниченность квантовомеханических операторов.

2. Одномерный оператор Шредингера c локализованным потенциалом. Дискретный и непрерывный спектр. Разложение по собственным функциям.

3. Ограниченные и неограниченные операторы в гильбертовом пространстве. Симметричные и самоспряженные неограниченные операторы. Замкнутость графика. Самосопряженные и несамосопряженные граничные условия. Условия Дирихле, Неймана, смешанные. Теорема о спектральном разложении (без доказательства)

4. Одномерная задача рассеяния. Аналитические собственные функции. Функции Грина. Сведение задачи рассеяния к задаче Римана.

5. Одномерные периодические операторы. Основной спектр и спектр Дирихле. Спектральное разложение. Конечнозонные операторы. Спектральная мера в конечнозонном случае.

6. Многомерные операторы Шредингера. Решения Фаддеева. Их частичная голоморфность. Условия совместности на многомерные данные.

7. Двумерная задача рассеяния при одной энергии. Сведение обратной задачи к комбинации нелокальной задачи Римана и d-bar задачи. Прозрачные при одной энергии потенциалы.

8. Точно решаемые примеры -- рациональные солитоны, точечные потенциалы.