Спецкурс “Интегрируемые модели статистической физики в старших размерностях” При участии Горбунова Василия Геннадьевича (Обердинский университет, Шотландия; Матфак ВШЭ) Время: весна 2020 года, по четвергам в 18.30, первое занятие 20 февраля Место: Мехмат МГУ, в аудитории 14-02 ГЗ Актуальная информация: Начиная с 26 марта занятия проводятся в режиме конференции ZOOM. Если Вы хотите получать рассылку, пожалуйста, свяжитесь со мной по электронной почте. Статистическая механика возникла на стыке 19-го и 20-го веков, как область физики, позволившая объяснить некоторые фазовые переходы. Однако, в конце 20-го века эта область очень плотно вошла в современную фундаментальную математику. Оказалось, что в виде статистической суммы (производящей функции вероятностей состояний модели) представляются некоторые инварианты узлов, топологические инварианты 3-х мерных многообразий, некоторые полиномиальные инварианты графов и многие другие объекты. Спецкурс в основном направлен на прояснение функториальной природы статистической суммы. Особое внимание будет уделено моделям в старших размерностях, то есть начиная с d=3, или двумерным полностью анизотропным моделям. Мы поговорим об интегрируемости таких моделей, связанной с решениями уравнения тетраэдров, о современной теории электрических сетей, связанной с областью кластерных алгебр. Большое внимание мы уделим инвариантам Татта, потоковому полиному, их связи с моделью Изинга, а также свойству полной положительности, которое имеет очень разнообразные инкарнации: от задачи Люстига, до позитроидов в теории электрических сетей. Спецкурс в основном ориентирован на студентов старших курсов, но для его понимания достаточно курса алгебры и теории вероятностей в объеме первых двух лет обучения на мехмате. Краткий план курса: 1. Краткое введение в парадигму статистической физики. Производящие функции комбинаторных инвариантов. 2. Модель Изинга. Регулярные решетки, дуальность, пределы. Описание критического поведения в двумерном случае. Модель на произвольном графе. 3. Полином Татта, потоковый полином, модель Поттса. 4. Старшие уравнения n-симплексов. 5. Трехмерная модель Изинга. 6. Электрические сети. Матричная теорема о деревьях, дискретный гармонический анализ, задачи о случайном блуждании. 7. Критические электрические сети. 8. Введение в кластерные алгебры. Основные примеры: грассманианы, пространства Тейхмюллера. 9. Электрические сети, как деформация кластерной алгебры в задаче Люстига. 10. Полностью положительная математика. Введение, положительность унипотентной группы. 11. Положительность в теории электрических сетей. Обобщенная положительность.

Матариалы по спецкурсу Частичный конспект лекции 1, 4-9 лекции 2-3 Видео лекций лекция 5 лекция 6 лекция 7 лекция 8 лекция 9