Талалаев Дмитрий Валерьевич
Спецкурс “Квантовый метод обратной задачи и некоммутативная
геометрия”
Время: осень 2021 года, по четвергам в 16.50, первое занятие 23
сентября
Место: Мехмат МГУ, онлайн на платформе Zoom (для получения ссылки,
пришлите, пожалуйста, запрос по электронной почте dtalalaev@yandex.ru)
Назначение курса - знакомство с методами, алгебраическими структурами,
положенными в основу квантового метода обратной задачи (КМОЗ). Помимо своего
непосредственного значения - описания и решения многочисленных квантово-
механических моделей, таких как модель магнетика Гейзенберга и многих других,
собственно техника этого метода оказалась довольно универсальной в обще-
математическом смысле, алгебры Хопфа - это одна из базовых алгебраических
структур, уравнение Янга-Бакстера имеет характер мета-тождества, проявляется в
топологии, комбинаторике и статистической механике.
Помимо классических понятий КМОЗ мы уделим особое внимание их
модификациям, обобщениям; в том числе матрицам Манина, полуквантовым
алгебрам, классификационным результатам, использующим соответствующие
теории когомологий. Особое внимание будет уделено геометрической
интерпретации конструкций и инструментов КМОЗ, прежде всего они относятся к
области некоммутативной алгебраической геометрии. В курсе также будут
обсуждаться кластерные многообразия и комбинаторика гиперкуба в контексте
приложений КМОЗ к точно-решаемым моделям статистической физики.
Спецкурс в основном ориентирован на студентов старших курсов, но для его
понимания достаточно курса алгебры в объеме первых двух лет обучения на
мехмате, общих представлений о группах и алгебрах Ли.
Краткий план курса:
1. 1. Краткое введение в теорию классических интегрируемых систем
2. Деформационное квантование и некоммутативная геометрия
3. Классические алгебраические структуры теории интегрируемых систем
3.1. Пуассоновы алгебры
3.2. Ли-биалгебры
3.3. Кограничные Ли-биалгебры
3.4. Группы Ли-Пуассона
4. Квантовые алгебраические структуры
4.1. Биалгебры
4.2. Алгебры Хопфа
4.3. Кограничные биалгебры и уравнение Янга-Бакстера
5. Квантовый метод обратной задачи
5.1. Алгебры Решетихина-Тахтаджяна
5.2. Матрицы Манина и полуквантовые алгебры
5.3. Коммутативные семейства
5.4. Тождество Гамильтона-Кэли
5.5. Тождество Капелли
6. Приложения в статистической механике
6.1. Точно-решаемые модели статистической механики и интегрируемые модели
КМОЗ
6.2. Многомерные аналоги уравнения Янга-Бакстера и алгебраическая теория
электрических сетей
