(В.М. Бухштабер, Т.Е. Панов, Н.Ю. Ероховец, среда, 17:30-19:05, ауд. 16-22)

Годовой спецкурс по выбору кафедры. (Можно сдавать как два полугодовых спецкурса.) Первая лекция в осеннем семестре - 16 сентября. Рассчитан на студентов 2-6 курсов и аспирантов.

В алгебраической топологии и её приложениях фундаментальную роль играют так называемые "теоремы двойственности". В рамках спецкурса планируется рассказать, в том числе, о двойственности между гомологиями и когомологиями ориентируемого многообразия, компактов и их дополнений в сферах, между гладким многообразием и пространством Тома его нормального расслоения в сфере. Доказательство этих теорем использует глубокие связи алгебраической топологии с алгебраической геометрией, комбинаторно геометрией, теорией действия групп на многообразиях.

Предварительная программа.
1. Комбинаторная двойственность Пуанкаре.
2. Симплициальная двойственность Александера.
3. Двойстенность Пуанкаре для топологических многообразий.
4. Двойственность Александера.
5. Двойственность Лефшеца.
6. Двойственность Атьи.
7. Двойственность Спеньера-Уайтхеда.
8. Двойственность Экмана-Хилтона.
9. Эквивариантные когомологии и эквивариантные двойственности.

Конспект лекций и задачи.

(О.И.Мохов, С.В.Смирнов, понедельник, 17:30-19:05, ауд. 14-14)

Годовой спецкурс по выбору кафедры. (Можно сдавать как два полугодовых спецкурса.) Первая лекция в осеннем семестре - 14 сентября. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа.
1. Лагранжев формализм: элементы вариационного исчисления, уравнения Эйлера--Лагранжа, лагранжев подход в ньютоновой механике, вариационная природа геодезических, теорема Нетер, обобщенная вариационая задача с высшими производными.
2.Гамильтонов формализм: уравнения Гамильтона, гамильтоновость лагранжевых систем, скобка Пуассона и первые интегралы.
3. Симплектические и пуассоновы многообразия, теорема Дарбу. Гамильтоновые векторные поля. Симплектические листы, функции Казимира. 4. Интегрируемость по Лиувиллю: Теорема Лиувилля, переменные ``действие-угол''.
5. Классические примеры: задача Кеплера, волчок Эйлера, волчок Лагранжа, геодезические на трехосном эллипсоиде.
6. Представление Лакса: нахождение первых интегралов, спектральный параметр.
7. Цепочка Тоды: представление Лакса, интегрируемость по Лиувиллю, метод обратной задачи, связь с QR-алгоритмом.
8. Одевающая цепочка Веселова--Шабата: преобразования Дарбу, представление Лакса, интегрируемость по Лиувиллю, связь с уравнениями Пенлеве.
9. Бигамильтоновы системы: схема Ленарда--Магри.
10. Интегрируемые дискретные уравнения на квад-графах: трехмерная совместность, представление нулевой кривизны, формулировка классификационной теоремы Адлера-Бобенко-Суриса, постановка задачи Коши.
11. Изоспектральные деформации оператора Шредингера и уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ). Односолитонное решение КдФ.
12. Подход Гельфанда-Дикого: псевдодифференциальные операторы и извлечение квадратного корня из оператора Шредингера. Иерархия КдФ.
13. Элементы теории рассеяния для оператора Шредингера с быстро убывающим потенциалом.
14. Безотражательные потенциалы и многосолитонные решения КдФ. Взаимодействие решений. Асимптотика решений КдФ.
15. Модифицированное уравнение КдФ, преобразование Миуры. Преобразование Бэклунда для КдФ. Метод Хироты.
16. Скобка Гарднера-Захарова-Фаддеева. Гамильтонова структура КдФ, бигамильтоновость.
17. Полиномиальные интегралы движения, полная интегрируемость КдФ.
18. Асимптотические линии на поверхностях постоянной отрицательной кривизны и уравнение sin-Гордон.
19. Элементы дифференциальной геометрии систем гидродинамического типа.

(В.М.Мануйлов, Е.В.Троицкий, понедельник, 17:30-19:05, дистанционно, информация по ссылке).

Годовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре - 21 сентября. Рассчитан на студентов 4-5 курсов.

Предварительная программа.
1. С*-алгебры. Основные свойства.
2. Спектральная теорема.
3. Аппроксимативные единицы, идеалы.
4. Положительность. Состояния. Представления. Теорема Гельфанда-Наймарка.
5. Тензорные произведения.
6. Алгебра мультипликаторов.
7. Проекторы. Эквивалентности проекторов.
8. Определение группы К_0.
9. Точная последовательность.
10. Гомотопическая инвариантность К_0.
11. Стабильность К_0.
12. Группа К_1. Надстройка. Связь с К_0.
13. Граничный гомоморфизм.
14. Длинная точная последовательность в К-теории.
15. Гомоморфизм Ботта. Периодичность Ботта.
16. К-теория алгебр мультипликаторов.
17. Вычисление К-групп для основных примеров.
18. Векторные расслоения и топологическая К-теория.
19. Индекс и его свойства.
20. Гильбертовы модули.
21. Операторы. Операторы, допускающие сопряженный. Компактные операторы.
22. Дополняемость и полярное разложение.
23. Конечно- и счетно-порожденные гильбертовы модули.
24. Теорема Кюйпера в гильбертовых модулях.
25. Теорема Аткинсона с коэффициентами в С*-алгебре, обобщенный индекс.

(И.А.Дынников, дистанционно, Zoom meeting id: 937 7379 0733, ссылка).

Годовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре - 26 сентября. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа.

Осенний семестр
1. Категории, функторы.
2. Гомотопия, относительная гомотопия. Гомотопическая эквивалентность.
3. Фундаментальная групп.
4. Ретракты. Пара Борсука.
5. Операции над топологическими пространствами. Конструкция джойна и надстройки.
6. Симплициальные комплексы.
7. Подкомплексы. Симплициальные пары.
8. Подразделение. Комбинаторная эквивалентность.
9. Кусочно-линейные отображения.
10. Симплициальная аппроксимация отображений.
11. Цепные комплексы и отображения. Цепная гомотопия.
12. Симплициальные гомологии и когомологии.
13. Гомотопическая инвариантность (ко)гомологий.
14. Эйлерова характеристика.
15. Сингулярные гомологии и когомологии.
16. Точные последовательности пары и тройки.
17. Точная последовательность Майера-Вьеториса.
18. Изоморфизм гомологий при отображении вырезания.
19. Группы гомологий сфер.
20. Неподвижные точки отображений. Теорема Брауэра. Число Лефшеца.
21. Аксиомы Эйленберга-Стинрода.
22. Фундаментальный класс многообразия.
23. Гомологии и когомологии с произвольными коэффициентами. Функторы Tor и Ext.
24. Формулы универсальных коэффициентов.
25. Формула Кюннета
26. Аппроксимация диагонального отображения. Умножение в когомологиях.
27. Кольцо когомологий поверхностей.

Весенний семестр
1. Накрытия. Свойство поднятия гомотопии.
2. Высшие гомотопические группы. Умножение Уайтхеда.
3. Инвариант Хопфа.
4. Клеточные пространства.
5. Гомологии и когомологии клеточных пространств.
6. Гомоморфизм Гуревича.
7. Препятствия к поднятию отображений.
8. Пространства Эйленберга-Маклейна.
9. Гомоморфизм надстройки. Стабильные гомотопические группы.
10. Индекс пересечения. Двойственность Пуанкаре.
11. Локально тривиальные расслоения.
12. Расслоения в смысле Серра.
13. Длинная точная последовательность гомотопических групп.
14. Точные последовательности Гизина и Вана.
15. Спектральные последовательности расслоения.
16. Вычисление кольца когомологий классических групп Ли.

(А.С.Мищенко, пятница, 17:45-19:20, дистанционно, Zoom meeting id: 754 1137 9994).

Полугодовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре - 17 сентября. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов. Для получения доступа следует отправить заявку по электронной почте на адрес лектора [email protected] сообщив следующую информацию: 1) Ф.И.О., 2) номер группы, e-mail, мобильный телефон.

Предварительная программа.
1. Теория гладких многообразий.
2. Касательные расслоения.
3. Локально тривиальные расслоения. Векторные расслоения.
4. Дифференциальное исчисление на гладких многообразий. Дифференциальные формы.
5. Гомологии и когомологии. Когомологии де Рама.
6. Связности и тензор кривизны.
7. Дифференциальное исчисление на многообразиях. Алгеброиды Ли.
8. Характеристические классы. Теория Черна-Вейля.
9. Погружения и вложения. Бордизмы.
10. Перестройки. Гладкие структуры на гомотопическом типе.

(С.М.Гусейн-Заде, четверг, 17:45-19:20, дистанционно, Zoom meeting id: 308 669 8731, pswd: 625989)

Полугодовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре - 17 сентября. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа.
1. Полиномиальные уравнения и многогранники Ньютона.
2. Операции с выпуклыми многогранниками, смешанный объем.
3. Количество решений полиномиальной системы уравнений с общим многогранником Ньютона.
4. Количество решений полиномиальной системы уравнений с разными многогранниками Ньютона.
5. Эйлерова характеристика алгебраической гиперповерхности и многогранник Ньютона.
6. Разрешение особенностей и многогранники Ньютона.
7. Число Милнора изолированной особенности гиперповерхности и формулы для ее вычисления.
8. Изолированные особенности гиперповерхностей и диаграммы Ньютона.
9. Многочлен Ходжа-Делиня полуалгебраческого пространства.
10. Многочлен Ходжа-Делиня многообразия, заданного системой полиномиальных уравнений и многогранники Ньютона.
Возможное дополнение: Диаграммы Ньютона и асимптотики интегралов по исчезающим циклам.

(В.А.Шастин, понедельник, 18:30-20:00, дистанционно).

Годовой спецкурс для студентов второго курса. Первая лекция в осеннем семестре - 21 сентября.

Предварительная программа.

Осенний семестр
1. Вещественная проективная прямая. Гармонические множества. Проективные преобразования прямой. Инволюции.
2. Вещественная проективная плоскость. Проективные проеобразования. Двойственные проеобразования. Коники.
3. Координаты в проективной геометрии. Двойное отношение. Проективные и двойственные преобразования в координатах. Проективные преобразования высокой размерности.
4. Комплексная проективная плоскость. Плоские алгебраические кривые. Степень кривой. Параметризация. Теорема Безу.
5. Кубические кривые, гессиан. Приведение неособой кубики к нормальной форме Вейерштрасса. Теорема сложения на кубике.
6. Простейшие вопросы перечислительной геометрии: сколько квадрик проходит через n точек общего положения?

Весенний семестр
1. Эллиптическая геометрия на вещественной проективной плоскости. Сферическая тригонометрия. Группа изометрий эллиптической геометрии. Кватернионы.
2. Эллиптическая геометрия в вещественном проективном пространстве. Группа изометрий. Клиффордов параллелизм.
3. Проективная модель геометрии Лобачевского. Абсолют. Параллельность и ультрапараллельность. Формулы для расстояний и углов в терминах двойного отношения и однородных координат.
4. Треугольники и окружности. Орициклы и орисферы, евклидова геометрия на них.
5. Гиперболическая тригонометрия. Формулы для площади многоугольников.
6. Модель Бельтрами-Клейна в круге. Конформная моделб Клейна на сфере. Конформная модель Пуанкаре.
7. Модель на гиперболоиде. Геометрия абсолюта.